Question

如图1，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=kEA，探索线段EF与EG的数量关系，并证明你的结论．

说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取（1）或（2）中的条件，选（1）中的条件完成解答满分为7分；选（2）中的条件完成解答满分为5分．
（1）m=1（如图2）
（2）m=1，k=1（如图3）

Answer 1

分析：过点E作EM⊥AB，EN⊥CD，根据CD⊥AB和EF⊥BE先证明△EFM与△EGN相似，得到EF：EG=EM：EN，再根据平行线分线段成比例定理求出EM：CG=AE：AC，EN：AD=CE：AC，结合CE=kEA即可用CD、AD表示出EM与EN，再利用∠A的正切值即可求出．

解答：解：过E作EM⊥AB，EN⊥CD，
∵CD⊥AB，∴EM∥CD，EN∥AB，
∵EF⊥BE，∴∠EFM+∠EBF=90°，
∵∠EBF+∠DGB=90°，∠DGB=∠EGN（对顶角相等）
∴∠EFM=∠EGN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

，
在△ADC中，
∵EM∥CD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

，
又CE=kEA，
∴AC=（k+1）AE
∴CD=（k+1）EM，
同理

EN

AD

=

CE

AC

，
∴AD=

k+1

k

EN，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，AC=mBC
tanA=

CD

AD

=

BC

AC

=

1

m

，
即

(k+1)EM

k+1 K EN

=

1

m

，
∴

EM

EN

=

1

km

，
∴EF=

1

km

EG．

点评：本题难度较大，主要利用相似三角形对应边成比例求解，正确作出辅助线是解本题的关键，这就要求同学们在平时的学习中不断积累经验，开拓视野．