Question

18．如图，已知在∠ABC中，BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：
（1）BD平分∠ADC；
（2）PM=PN．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB=∠CDB即可；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．

解答 证明：（1）∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△ABD和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABD=∠CBD}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△CBD（SAS），
∴∠ADB=∠CDB，即BD平分∠ADC；
（2）∵∠ADB=∠CDB，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB=∠CDB是解题的关键．