Question

18．如图，在平面直角坐标系中，⊙C与y轴相切，且C点坐标为（$\sqrt{3}$，0），直线L过点A（-$\sqrt{3}$，0），与⊙C相切于点D，求直线l的解析式．

Answer 1

分析 连接CD，由于直线l为⊙C的切线，故CD⊥AD．C点坐标为（$\sqrt{3}$，0），故OC=1，即⊙C的半径为1，由点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），可求出∠CAD=30度．作DE⊥AC于E点，则∠CDE=∠CAD=30°，可求出CE的长，再求点B的坐标为，设直线l的函数解析式为y=kx+b，把A，B两点的坐标代入即可求出未知数的值从而求出其解析式．

解答 解：如图所示，当直线l在x轴的上方时，
连接CD，
∵直线l为⊙C的切线，
∴CD⊥AD．
∵C点坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴OC=$\sqrt{3}$，即⊙C的半径为$\sqrt{3}$，
∴CD=OC=$\sqrt{3}$．
又∵点A的坐标为（-$\sqrt{3}$，0），
∴AC=2$\sqrt{3}$，
∴∠CAD=30°，
在Rt△AOB中，OB=OA•tan30°=1，即B（0，1），
设直线l解析式为：y=kx+b（k≠0），则
$\left\{\begin{array}{l}{-\sqrt{3}k+b=0}\\{b=1}\end{array}\right.$，
解得k=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，b=1，
∴直线l的函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1．
同理可得，当直线l在x轴的下方时，直线l的函数解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1．
故直线l的函数解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1或y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-1．

点评 本题把求一次函数的解析式与圆的性质相结合，增加了题目的难度，解答此题的关键是作出辅助线，构造出直角三角形，利用解直角三角形的知识解答．