Question

18．随着人们对健康认知度的提高，人们对食品的健康要求也越来越高，我市对食品安全检查的力度也越来越强．某一奶制品企业经销某种牛奶，已知每箱牛奶的成本为40元，其每个月的销量y（万箱）与销售单价x（元）的关系如下表所示（x为5的倍数，且x≤80元）．

售价x （元）	…	60	65	70	75	80
月销量y （万箱）	…	6	5.5	5	4.5	4

又已知该企业每月销售该种牛奶的总开支z（万元）（不含牛奶成本）与销量y（万箱）存在函数关系：z=10y+42．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，直接写出月销量y与售价x之间的函数关系式；
（2）当售价定为何值时，月销售利润最大？且最大是多少？
（3）到今年2月底止，该企业都在获得最大利润的基础上进行销售，从今年3月份开始，该企业为满足人们需要，积极响应市里号召，停止生产该种牛奶准备加工生产一种高优质牛奶，于是采取了一系列优化措施，其中添置生产处理设备共250万元，并增加安全技术人员50名，这样每月的总开支（不含牛奶成本）将比2月份增加5万元，而一箱牛奶的成本比原来增加了25%，但该企业为了促销新品种牛奶，3月份每箱牛奶的售价却比2月份下降了25%，3月的销量比2月增加了40%，到了4月份取消促销活动，每箱牛奶的价格在3月份的基础上增加了n%，销量在3月份的基础上增加了0.25n%，以这样的销售持续到5月底，则从2月到5月共获利润295万元，试估计n的整数值．（32²=1024，33²=1089，34²=1156）

Answer 1

分析 （1）由于图中数据为均匀变化，故可猜想y与x为一次函数关系，设出解析式，利用待定系数法即可求解；
（2）先利用销量乘以每件的销售利润减去月总开支就是每月的销售利润，然后化为顶点式就可以求出月销售的最大利润；
（3）由（2）可以得出最高售价是80元，最大利润是78万元，可以得出2月份的销售数量为4万箱、总开支为82万元．再通过数量关系表示出3月的成本价为40×（1+25%）元，售价为80（1-25%）元，销量为4（1+40%）万箱，就可以求出3月的利润，再通过3月销售情况及数量关系求出4月、5月的销售利润建立等量关系，就可以n的值．

解答 解：（1）设解析式为y=kx+b，
将（60，6），（70，5）分别代入解析式得，
$\left\{\begin{array}{l}{6=60k+b}\\{5=70k+b}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{10}}\\{b=12}\end{array}\right.$，
则解析式为y=-$\frac{1}{10}$x+12；
（2）设月销售利润为W，由题意，得
W=（x-40）（-0.1x+12）-（10y+42）
=-0.1x2+12x+4x-480-10（-0.1x+12）-42
=-0.1（x-85）²+80.5，
∵a=-0.1＜0，
∴抛物线的开口向下，在抛物线的左侧W随x的增大而增大，
∴当x=85时，W有最大值80.5．
∵x为5的倍数，且x≤80元，
∴x=80时，W有最大值：78；
（3）由题意，得
二月的销量为：-$\frac{1}{10}$×80+12=4，
二月的总开支为：10×4+42=82万元，
∴3月的成本价为40×（1+25%）=50元，
售价为80（1-25%）=60元．
销量为4（1+40%）=5.6万箱．
∴3月的利润为：5.6（60-50）-82-5-250=-281万元．
∴4月份售价为60（1+n%），销量为：5.6（1+0.25n%），
∴4月的利润为：[60（1+n%）-50][5.6（1+0.25n%）]-87，
∴{[60（1+n%）-50][5.6（1+0.25n%）]-87}×2+78-281=295，
设n%=m，则{[60（1+m）-50][5.6（1+0.25m）]-87}×2+78-281=295，
化简为：6m²+25m-20=0
解得m=$\frac{-25±\sqrt{1105}}{12}$，
m₁=$\frac{-58}{12}$（不符合题意，应舍去）．
m₂=$\frac{8}{12}$=66.7%．
∴n=67．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式及顶点式求函数的最值．在解答时要注意未知数的值要使实际问题有意义．