Question

17．如图，在平面直角坐标系中，?OABC的顶点C的坐标为（3，0），∠AOC=45°，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象经过点A交BC于点E，过点E作ED⊥x轴于点D，ED=1．
（1）求k的值；
（2）在反比例y=$\frac{k}{x}$（x＞0）图象上有一点F，若△ABF的面积等于?OABC面积的$\frac{1}{8}$，求点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用平行线的性质得到∠ECD=45，则CD=DE=1，则可确定E点坐标，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征可求出k的值；
（2）作AH⊥x轴于H，如图，易得A（2，2），则可求出S_{平行四边形ABCO}=6，设F（t，$\frac{4}{t}$），利用平行四边形的性质得AB∥OC，AB=OC=3，然后根据三角形面积公式得到$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{4}{t}$-2|=$\frac{1}{8}$•6，再解绝对值方程求出t即可得到F点的坐标．

解答 解：（1）∵四边形ABCO为平行四边形，
∴OA∥BC，
∴∠BCD=∠AOC=45°，
在Rt△CDE中，∵∠ECD=45°，
∴CD=DE=1，
∵C（3，0），
∴E（4，1），
把E（4，1）代入y=$\frac{k}{x}$得k=4×1=4；
（2）作AH⊥x轴于H，如图，
∵∠AOH=45°，
∴OH=AH，
设A（a，a），则a•a=4，解得a=2，
∴A（2，2），
∴S_{平行四边形ABCO}=2×3=6，
设F（t，$\frac{4}{t}$），
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴AB∥OC，AB=OC=3，
∵△ABF的面积等于?OABC面积的$\frac{1}{8}$，
∴$\frac{1}{2}$•3•|$\frac{4}{t}$-2|=$\frac{1}{8}$•6，解得t₁=$\frac{8}{3}$，t₂=$\frac{8}{5}$，
∴F点的坐标为（$\frac{8}{3}$，$\frac{3}{2}$）或（$\frac{8}{5}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=$\frac{k}{x}$图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点象坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是$\frac{1}{2}$|k|，且保持不变．