Question

5．如图，AC⊥BC，AC=BC，DC⊥EC，DC=EC，BE的延长线交直线AD于点F
（1）如图1，求证：BF⊥AD；
（2）如图1，连接FC，判断FC、FE、FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图2，G为AE中点，I为BD中点，若AC=BC=4，EC=CD=1，当△ABE的面积为6时，求GI的长．

Answer 1

分析 （1）如图1中，设AC交BF于O．由△BCE≌△ACD推出BE=AD，∠CBE=∠CAD，由∠AOF=∠BOC，推出∠AFC=∠BCO=90°；
（2）结论：FE+FD=$\sqrt{2}$FC．由△CME≌△CND，推出CM=CM．EM=DN，推出四边形CMFN是正方形，推出FM=FN，CF=$\sqrt{2}$FM，由FE+FD=FM+EM+FN-DN=2FM，即可推出FE+FD=$\sqrt{2}$FC．
（3）如图3中，如图作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，则四边形EMCN是矩形，由S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE+S_△BCE，可得8=6+$\frac{1}{2}$×4×EN+$\frac{1}{2}$×4×EM，推出EM+EN=1，由CM=1，EC=1，推出E与N重合，如图3中，易知CG=2.5，CI=1.5，在Rt△IGC中，根据IG=$\sqrt{C{I}^{2}+C{G}^{2}}$计算即可．

解答 （1）证明：如图1中，设AC交BF于O．

∵AC⊥BC，AC=BC，DC⊥EC，DC=EC，
∴∠BCA=∠ECD，
∴∠BCE=∠ACD，
在△BCE和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠BCE=∠ACD}\\{CE=CD}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，
∵∠AOF=∠BOC，
∴∠AFC=∠BCO=90°，
∴BF⊥AD．

（2）解：结论：FE+FD=$\sqrt{2}$FC．
理由：作CM⊥BF于M，CN⊥AD于N．则四边形CMFN是矩形，

∴∠MCN=∠ECD=90°，
∴∠ECM=∠DCN，
∵CE=CD，∠CME=∠CND，
∴△CME≌△CND，
∴CM=CM．EM=DN，
∴四边形CMFN是正方形，
∴FM=FN，CF=$\sqrt{2}$FM，
∵FE+FD=FM+EM+FN-DN=2FM，
∴FE+FD=$\sqrt{2}$FC．

（3）如图2中，如图作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，则四边形EMCN是矩形，

∵S_△ABC=S_△ABE+S_△ACE+S_△BCE，
∴8=6+$\frac{1}{2}$×4×EN+$\frac{1}{2}$×4×EM，
∴EM+EN=1，
∵EC=1，
①当EM=1，
∴E与N重合，如图3中，易知CG=2.5，CI=1.5，
在Rt△IGC中，IG=$\sqrt{C{I}^{2}+C{G}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}+1．{5}^{2}}$=$\frac{\sqrt{34}}{2}$．
②当EN=1时，E与M重合，此时GI=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．