Question

如图，AB是半圆O的直径，C为半圆上一点，N是线段BC上一点（不与B﹑C重合），过N作AB的垂线交AB于M，交AC的延长线于E，过C点作半圆O的切线交EM于F，若NC：CF=3：2，则sinB=

 

．

Answer 1

分析：由NC：CF=3：2，设NC=3x，则CF=2x，根据AB为直径可证BC⊥AE，因为CF为⊙O的切线，故OC⊥CF，利用互余关系可证∠OCB=∠ECF，∠B=∠E，而OB=OC，则∠OCB=∠B，故∠ECF=∠E，EF=CF=2x，同理可证∠FCN=∠FNC，FN=CF=2x，利用∠B=∠E，在Rt△CEN中，求sinE即可．

解答：解：依题意，NC：CF=3：2，设NC=3x，则CF=2x，
∵AB为直径，∴BC⊥AE，
∵CF为⊙O的切线，∴OC⊥CF，
∵∠OCB+∠BCF=∠BCF+∠ECF=90°，
∴∠OCB=∠ECF，同理可证∠B=∠E，
∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，
∴∠ECF=∠E，则EF=CF=2x，
同理可证∠FCN=∠FNC，则FN=CF=2x，
∴在Rt△CEN中，sinE=

CN

EN

=

3x

4x

=

3

4

，
∴sinB=sinE=

3

4

．
故答案为

3

4

．

点评：本题综合考查了切线的性质，等腰三角形的判定与性质，圆周角定理及解直角三角形的知识．关键是判断等腰三角形，得出直角三角形中直角边与斜边的关系．