Question

2．△ABC中，AD是BC边上的高，BD=3，CD=1，AD=2，P、Q、R分别是BC、AC边上的动点，则△PQR周长的最小值为$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

Answer 1

分析 过A作AP⊥BC于P（即D点），分别作D关于AB，AC的对称点P₁，P₂，连接P₁，P₂，交AB，AC于Q，R，则△PQR就是周长最短的三角形，其周长为P₁P₂的长，根据勾股定理得到AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，根据射影定理得到AD²=AM•AB，求得AN=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，同理AN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，推出△AMN∽△ACB，根据相似三角形的性质列比例式求得MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，根据三角形的中位线的性质即可得到结论．

解答 解：过A作AP⊥BC于P（即D点），分别作D关于AB，AC的对称点P₁，P₂，连接P₁，P₂，交AB，AC于Q，R，
∵∠AMP=∠ANP=90°，
∴点M，N在以AP为直径的圆上，要使MN最小，即使直径AP最小，故当点P与点O重合时，AP最小，
则△PQR就是周长最短的三角形，其周长为P₁P₂的长，
∵AD⊥BC，BD=3，CD=1，AD=2，
∴AB=$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{5}$，
∵DM⊥AB，
∴AD²=AM•AB，
∴AN=$\frac{4\sqrt{13}}{13}$，同理AN=$\frac{4\sqrt{5}}{5}$，
∵$\frac{AN}{AB}$=$\frac{\frac{4\sqrt{5}}{5}}{\sqrt{13}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$，$\frac{AM}{AC}$=$\frac{\frac{4\sqrt{13}}{13}}{\sqrt{5}}$=$\frac{4\sqrt{65}}{65}$，
∴$\frac{AM}{AC}=\frac{AN}{AB}$，
∵∠BAC=∠NAM，
∴△AMN∽△ACB，
∴$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AC}$，
∴MN=$\frac{16\sqrt{65}}{65}$，
∴P₁P₂=2MN=$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．
故答案为：$\frac{32\sqrt{65}}{65}$．

点评 本题考查了轴对称-最短距离问题，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正确的作出图形是解题的关键．