Question

如图，在△AOB中，OA=OB=8，∠AOB=90°，矩形CDEF的顶点C、D、F分别在边AO、OB、AB上．
（1）若C、D恰好是边AO，OB的中点，求矩形CDEF的面积；
（2）若tan∠CDO=

4

3

，求矩形CDEF面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）因为当C、D是边AO，OB的中点时，点E、F都在边AB上，且CF⊥AB，所以可求出CD的值，进而求出CF的值，矩形CDEF的面积可求出；
（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，用含x和y的代数式分别表示出CO、AH的长，进而表示出矩形CDEF的面积，再配方可求出面积的最大值．

解答：解：（1）如图，当C、D是边AO，OB的中点时，
点E、F都在边AB上，且CF⊥AB．
∵OA=OB=8，
∴OC=AC=OD=4．
∵∠AOB=90°，
∴CD=4

2

．
在 Rt△ACF中，
∵∠A=45°，
∴CF=2

2

．
∴S矩形CDEF=4

2

×2

2

=16．

（2）设CD=x，CF=y．过F作FH⊥AO于H．在 Rt△COD中，
∵tan∠CDO=

4

3

，
∴sin∠CDO=

4

5

，cos∠CDO=

3

5

．
∴CO=

4

5

x．
∵∠FCH+∠OCD=90°，
∴∠FCH=∠CDO．
∴HC=y•cos∠FCH=

3

5

y．
∴FH=

CF2-CH2

=

4

5

y．
∵△AHF是等腰直角三角形，
∴AH=FH=

4

5

y．
∴AO=AH+HC+CO．
∴

7y

5

+

4x

5

=8．
∴y=

1

7

(40-4x)．
易知S矩形CDEF=xy=

1

7

(40x-4x2)=-

4

7

[(x-5)2-25]，
∴当x=5时，矩形CDEF面积的最大值为

100

7

．

点评：本题考查了二次函数与几何知识（矩形）的综合应用和求二次函数的最值，将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．