Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC的中点，⊙O经过A、B、D三点，CB的延长线交⊙O于点E．
（1）求证：AE=CE；
（2）EF与⊙O相切于点E，交AC的延长线于点F，若CD=CF=2cm，求⊙O的直径；
（3）若（n＞0），求sin∠CAB．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接DE，根据∠ABC=90°可知：AE为⊙O的直径，可得∠ADE=90°，根据CD⊥AC，AD=CD，可证AE=CE；
（2）根据△ADE∽△AEF，可将AE即⊙O的直径求出；
（3）根据Rt△ADE∽Rt△EDF，=n，可将DE的长表示出来，在Rt△CDE中，根据勾股定理可将CE的长表示出来，从而可将sin∠CAB的值求出．
解答：（1）证明：连接DE，
∵∠ABC=90°
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O直径
∴∠ADE=90°
∴DE⊥AC
又∵D是AC的中点
∴DE是AC的垂直平分线
∴AE=CE；

（2）解：在△ADE和△EFA中，
∵∠ADE=∠AEF=90°，∠DAE=∠FAE
∴△ADE∽△EFA
∴
即
∴AE=2cm；

（3）解：∵AE是⊙O直径，EF是⊙O的切线，
∴∠ADE=∠AEF=90°
∴Rt△ADE∽Rt△EDF
∴
∵，AD=CD
∴CF=nCD
∴DF=（1+n）CD
∴DE=CD
在Rt△CDE中，CE²=CD²+DE²=CD²+（CD）²=（n+2）CD²
∴CE=CD
∵∠CAB=∠DEC
∴sin∠CAB=sin∠DEC===．
点评：本题主要考查圆周角定理，切线的性质及相似三角形的性质和应用．