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如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=6。P是AB边上的一个动点(异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为M、N设AP=x。

(1)在△ABC中,AB=               

(2)当x=      时,矩形PMCN的周长是14;

(3)是否存在x的值,使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请说出你的判断,并加以说明。

 

【答案】

(1)10;(2)5;(3)不存在

【解析】

试题分析:(1)仔细分析题意利用勾股定理求解即可;

(2)利用MP∥BC和NP∥AC,可得到,将AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x

代入式中就能得到PM和PN关于x的表达式.再由矩形周长=2(PM+PN),求出x的值.

(3)当P为AB的中点时,△PAM的面积与△PBN的面积才相等,再求出矩形PMCN的面积,进行判断.

(1)∵△ABC为直角三角形,且AC=8,BC=6,

(2))∵PM⊥AC  PN⊥BC

∴MP∥BC,AC∥PN(垂直于同一条直线的两条直线平行),

∵AP=x,AB=10,BC=6,AC=8,BP=10-x,

∴矩形PMCN周长=2(PM+PN)=2(x+8-x)=14,解得x=5;

(3)∵PM⊥AC,PN⊥BC,

∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.

∴AC∥PN,∠A=∠NPB.

∴△AMP∽△PNB∽△ABC.

当P为AB中点时,可得△AMP≌△PNB

此时S△AMP=S△PNB=×4×3=6

而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.

所以不存在x的值,能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.

考点:相似三角形的判定和性质,矩形的面积公式

点评:此类问题综合性强,难度较大,在中考中比较常见,一般作为压轴题,题目比较典型.

 

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