Question

5．如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与直线AB相交于A（-3，0），B（0，3）两点．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）设C是抛物线对称轴上的一动点，求使∠CBA=90°的点C的坐标；
（3）探究在抛物线上是否存在点P，使得△APB的面积等于3？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把点A（-3，0），B（0，3）两点的坐标分别代入抛物线解析式求出b和c的值即可；
（2）过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，易求点C的横坐标，再求出OE的长，即可得到点C的纵坐标；
（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB=$\sqrt{O{B}^{2}+A{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，设点P的坐标为（m，-m²-2m+3），设点F的坐标为（m，m+3），再分两种情况①当点P在直线AB上方时，②当点P在直线AB下方时分别讨论求出符合条件点P的坐标即可．

解答 解：（1）把点A（-3，0），B（0，3）代入y=-x²+bx+c得：
$\left\{\begin{array}{l}{-9-3b+c=0}\\{c=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴抛物线的解析式是y=-x²-2x+3；

（2）如图1：过点B作CB⊥AB，交抛物线的对称轴于点C，过点C作CE⊥y轴，垂足为点E，
∵y=-x²-2x+3，
∴抛物线对称轴为直线x=-1，
∴CE=1，
∵AO=BO=3，
∴∠ABO=45°，
∴∠CBE=45°，
∴BE=CE=1，
∴OE=OB+BE=4，
∴点C的坐标为（-1，4）；

（3）假设在在抛物线上存在点P，使得△APB的面积等于3，如图2：
连接PA，PB，过P作PD⊥AB于点D，作PF∥y轴交AB于点F，在Rt△OAB中，易求AB=$\sqrt{O{B}^{2}+A{O}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，
∵S_△APB=3，
∴PD=$\sqrt{2}$
∵∠PFD=∠ABO=45°，
∴PF=2，
设点P的坐标为（m，-m²-2m+3），
∵A（-3，0），B（0，3），
∴直线AB的解析式为y=x+3，
∴可设点F的坐标为（m，m+3），
①当点P在直线AB上方时，
可得：-m²-2m+3=m+3+2，
解得：m=-1或-2，
∴符合条件的点P坐标为（-1，4）或（-2，3），
②当点P在直线AB下方时，
可得：-m²-2m+3=m+3-2，
解得：m=$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$或$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，
∴符合条件的点P坐标为（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）
综上可知符合条件的点P有4个，坐标分别为：（-1，4）或（-2，3）或（$\frac{-3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$）或（$\frac{-3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{17}}{2}$）．

点评 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法以及勾股定理的运用解一元二次方程以及等腰直角三角形的判定和性质题目的综合性较强，难度较大．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．