【题目】如图,二次函数的图象与轴交于A,B两点,与y轴交于点C,且关于直线对称,点A的坐标为(-1,0).
(1)求二次函数的表达式;
(2)连接BC,若点P在y轴上时,BP和BC的夹角为15°,求线段CP的长度.
【答案】(1)y=x2-2x-3;(2)3-或3-3.
【解析】
(1)先根据题意得出点B的坐标,再利用待定系数法求解可得;
(2)分点P在点C上方和下方两种情况,先求出∠OBP的度数,再利用三角函数求出OP的长,从而得出答案.
(1)∵二次函数的对称轴是直线,
∴,
∴b=-2.
将A(-1,0)代入中,解得.
∴二次函数的表达式为;
(2)∵A(-1,0),对称轴是直线x=1,
∴点B的坐标为(3,0).
又∵当时,,
∴点C的坐标为(0,-3),
∴OB=OC,
∴∠OBC=45°.
如图,
若点P在点C上方,则∠OBP=∠OBC-∠PBC=30°,
∴OP=OBtan∠OBP,
∴CP;
若点P在点C下方,则∠OBP′=∠OBC+∠P′BC=60°,
∴OP′=OBtan∠OBP′,
∴CP′,
综上,线段CP的长度为或.
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【题目】我校数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度(图中线段MN的长).直线MN垂直于地面,垂足为点P,在地面A处测得点M的仰角为60°,点N的仰角为45°,在B处测得点M的仰角为30°,AB=5米.且A、B、P三点在一直线上,请根据以上数据求广告牌的宽MN的长.(结果保留根号)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,过外一点引它的两条切线,切点分别为,,若,则称为的环绕点.
(1)当半径为1时,
①在,,中,的环绕点是_______________;
②直线与轴交于点,轴交于点,若线段上存在的环绕点,求的取值范围;
(2)的半径为1,圆心为,以为圆心,为半径的所有圆构成图形,若在图形上存在的环绕点,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,每个图案均由边长相等的黑、白两色正方形按规律拼接而成,照此规律,第n个图案中白色正方形比黑色正方形多________个.(用含n的代数式表示)
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【题目】为了解学生对篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳等5项体育活动的喜欢程度,某校随机抽查部分学生,对他们最喜欢的体育项目(每人只选一项)进行了问卷调查,并将统计数据绘制成如下两幅不完整的统计图:
请解答下列问题:
(1)m= %,这次共抽取了 名学生进行调查;请补全条形统计图;
(2)若全校有800名学生,则该校约有多少名学生喜爱打篮球?
(3)学校准备从喜欢跳绳活动的4人(二男二女)中随机选取2人进行体能测试,求抽到一男一女学生的概率是多少?
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【题目】已知:在中,,,过点、向过点的直线作垂线,垂足分别为、,交于点.
(1)如图,求证:;
(2)如图,连接、,若,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出四个角,使写出的每一个角的正切值都等于.
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【题目】如图,小明在商城二楼地板处发现对五层居民楼顶防雨棚一侧斜面与点在一条直线上,此时测得,仰角是,上到九楼在地板边沿点测得居民楼顶斜面顶端点俯角是,已知商城每层楼高米,居民楼每层楼高米,试计算居民楼顶防雨棚一侧斜面的长度.(结果保留精确到米)(参考数据:,,,,)
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【题目】中国古代有若辉煌的数学成就,《周髀算经》,《九章算术》,《海岛算经》(分别用字母A、B、C依次表示这三部专著)等是我国古代数学的重要文献.将A、B、C这三个字母分别写在3张完全相同的不透明卡片的正面上,把这3张卡片背面朝上洗均后放在桌面上小明先从中随机抽取张卡片,记录下卡片上的字母,放回后洗均,再由小强从中随机抽取张卡片,请用列表法或画树状图法,求小明和小强抽到的卡片上的字母相同的概率.
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【题目】如图①,在平面直角坐标系中,点A(0,3),点B(﹣3,0),点C(1,0),点D(0,1),连AB,AC,BD.
(1)求证:BD⊥AC;
(2)如图②,将△BOD绕着点O旋转,得到△B′OD′,当点D′落在AC上时,求AB′的长;
(3)试直接写出(Ⅱ)中点B′的坐标.
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