Question

如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O，直线y=

3

4

x-6与x轴交于点A，与y轴交于点B，且A，B两点也是⊙M与该直线的交点．
（1）求出A，B的坐标；
（2）若有一抛物线的对称轴平行于y轴且经过点M，顶点C在⊙M上且抛物线经过点B，求此抛物线的函数解析式；
（3）在（2）的条件下，判断是否存在x轴上的点P，使以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）令已知的直线的解析式中x=0，可求出B点坐标，令y=0，可求出A点坐标；
（2）根据A、B的坐标易得到M点坐标，若抛物线的顶点C在⊙M上，那么C点必为抛物线对称轴与⊙O的交点；根据A、B的坐标可求出AB的长，进而可得到⊙M的半径及C点的坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）在（2）中已经求得了C点坐标，即可得到AC、BC的长；由圆周角定理知∠ACB=90°，所以此题可根据两直角三角形的对应直角边的不同来求出不同的P点坐标．

解答：解：（1）直线y=

3

4

x-6中，y=0，则x=8；x=0，则y=-6；
∴A（8，0），B（0，-6）；

（2）由于AB是⊙M的直径，则有：M（4，-3）；
Rt△OAB中，OA=8，OB=6，由勾股定理得：AB=10；
∴C点坐标为（4，2）或（4，-8）；
当C点坐标为（4，2）时，设抛物线的解析式为y=a（x-4）²+2（a≠0），则有：
a×16+2=-6，解得a=-

1

2

；
当C点坐标为（4，-8）时，设抛物线的解析式为y=a′（x-4）²-8（a′≠0），则有：
a′×16-8=-6，解得a′=

1

8

；
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

（x-4）²+2或y=

1

8

（x-4）²-8；
即y=-

1

2

x²+4x-6或y=

1

8

x²-x-6；

（3）假设存在符合条件的P点；
∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠POB=90°；
需要分两种情况：
①当C点坐标为C（4，2）时，AC=2

5

，BC=4

5

；
若以P，O，B为顶点的三角形与△ABC相似，则有：△POB∽△ACB或△POB∽△BCA；
得：

PO

BO

=

AC

BC

=

1

2

或

PO

BO

=

BC

AC

=2；
∵OB=6，∴OP=3或12，即P（3，0）或（12，0）；
②当C点坐标为C′（4，-8）时，由于CC′、AB同为⊙M的直径，所以四边形AC′BC是矩形，则△ACB与△AC′B全等，所以此种情况同①；
因此存在符合条件的P点，且P点坐标为：（3，0）或（12，0）．

点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、相似三角形的判定和性质等知识的综合应用能力，需注意的是当两个相似三角形的对应边和对应角不明确的情况下需要分类讨论，以免漏解．