Question

9．在平面直角坐标系xOy中，若点P和点P₁关于y轴对称，点P₁和点P₂关于直线l对称，则称点P₂是点P关于y轴，直线l的二次对称点．
（1）如图1，点A（-1，0）．
①若点B是点A关于y轴，直线l₁：x=2的二次对称点，则点B的坐标为（3.0）；
②若点C（-5，0）是点A关于y轴，直线l₂：x=a的二次对称点，则a的值为-2；
③若点D（2，1）是点A关于y轴，直线l₃的二次对称点，则直线l₃的表达式为y=-x+2；
（2）如图2，⊙O的半径为1．若⊙O上存在点M，使得点M'是点M关于y轴，直线l₄：x=b的二次对称点，且点M'在射线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x（x≥0）上，b的取值范围是-$\frac{1}{2}$≤b≤1；
（3）E（t，0）是x轴上的动点，⊙E的半径为2，若⊙E上存在点N，使得点N'是点N关于y轴，直线l₅：y=$\sqrt{3}$x+1的二次对称点，且点N'在y轴上，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）①②③根据二次对称点的定义，分别画出图形，即可解决问题．
（2）根据二次对称点的定义，画出图形，求出b的最大值以及最小值即可解决问题．
（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E₁，E₁关于直线y=$\sqrt{3}$x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．想办法求出点E′的坐标即可解决问题．

解答 解：（1）．①如图1中，点A（-1，0）关于y轴的对称点A₁（1，0），A₁关于直线x=2的对称点B（3，0）．

②如图2中，由题意C（-5，0），A₁（1，0），∵A₁、C关于直线x=a对称，
∴a=-2．

③如图3中，∵A₁（1，0），D（2，1），
∴直线A₁D的解析式为y=x-1，线段A₁D的中垂线的解析式为y=-x+2，
∴直线l₃的解析式为y=-x+2．

故答案分别为（3，0），a=-2．y=-x+2．

（2）如图4中，

由题意b=$\frac{1}{2}$MM′，由此可知，当MM′的值最大时，可得b的最大值，
∵直线OM′的解析式为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴∠MM′O=∠M′OD=30°，
∵OM=1，易知，OM⊥OM′时，MM′的值最大，最大值为2，
∴b的最大值为1，
如图5中，易知当点M在x轴的正半轴上时，可得b的最小值，最小值为-$\frac{1}{2}$，

综上所述，满足条件的b取值范围为-$\frac{1}{2}$≤b≤1．
故答案为-$\frac{1}{2}$≤b≤1．

（3）如图6中，设点E关于y轴的对称点为E₁，E₁关于直线y=$\sqrt{3}$x+1的对称点为E′，易知当点N在⊙E上运动时，点N′在⊙E′上运动，由此可见当⊙E′与y轴相切或相交时满足条件．

连接E₁E′交直线y=$\sqrt{3}$x+1于K，易知直线E₁E′的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x-$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+1}\\{y=-\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{\sqrt{3}}{3}t}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{-t-\sqrt{3}}{4}}\\{y=\frac{-\sqrt{3}t+1}{4}}\end{array}\right.$，
∴K（$\frac{-t-\sqrt{3}}{4}$，$\frac{-\sqrt{3}t+1}{4}$），
∵KE₁=KE′，
∴E′（$\frac{t-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-\sqrt{3}t+1}{2}$），
当⊙E′与y轴相切时，|$\frac{t-\sqrt{3}}{2}$|=2，解得t=$\sqrt{3}$-4或$\sqrt{3}$+4，
综上所述，满足条件的t的取值范围为$\sqrt{3}$-4≤t≤$\sqrt{3}$+4．

点评 本题考查圆综合题、一次函数的应用、二元一次方程组的应用、轴对称变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用图形，寻找特殊位置解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．