Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点B与原点O重合，点C在x轴上，点C坐标为（6，0），等边三角形ABC的三边上有三个动点D、E、F（不考虑与A、B、C重合），点D从A向B运动，点E从B向C运动，点F从C向A运动，三点同时运动，到终点结束，且速度均为1cm/s，设运动的时间为ts，解答下列问题：

（1）求证：如图①，不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形．

（2）如图②过点E作EQ∥AB，交AC于点Q，设△AEQ的面积为S，求S与t的函数关系式及t为何值时△AEQ的面积最大？求出这个最大值．

（3）在（2）的条件下，当△AEQ的面积最大时，平面内是否存在一点P，使A、D、Q、P构成的四边形是菱形，若存在请直接写出P坐标，若不存在请说明理由？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）当t=3时，△AEQ的面积最大为cm2；（3）（3，0）或（6，3）或（0，3）

【解析】

（1）由三角形ABC为等边三角形，以及AD=BE=CF，进而得出三角形ADF与三角形CFE与三角形BED全等，利用全等三角形对应边相等得到BF=DF=DE，即可得证；（2）先表示出三角形AEC面积，根据EQ与AB平行，得到三角形CEQ与三角形ABC相似，利用相似三角形面积比等于相似比的平方表示出三角形CEQ面积，进而表示出AEQ面积，利用二次函数的性质求出面积最大值，并求出此时Q的坐标即可；（3）当△AEQ的面积最大时，D、E、F都是中点，分两种情形讨论即 可解决问题；

（1）如图①中，

∵C（6，0），

∴BC=6

在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6，∠A=∠B=∠C=60°，

由题意知，当0＜t＜6时，AD=BE=CF=t，

∴BD=CE=AF=6﹣t，

∴△ADF≌△CFE≌△BED（SAS），

∴EF=DF=DE，

∴△DEF是等边三角形，

∴不论t如何变化，△DEF始终为等边三角形；

（2）如图②中，作AH⊥BC于H，则AH=ABsin60°=3，

∴S△AEC=×3×（6﹣t）=，

∵EQ∥AB，

∴△CEQ∽△ABC，

∴=（）2=，即S△CEQ=S△ABC=×9=，

∴S△AEQ=S△AEC﹣S△CEQ=﹣=﹣（t﹣3）2+，

∵a=﹣＜0，

∴抛物线开口向下，有最大值，

∴当t=3时，△AEQ的面积最大为cm2，

（3）如图③中，由（2）知，E点为BC的中点，线段EQ为△ABC的中位线，

当AD为菱形的边时，可得P1（3，0），P3（6，3），

当AD为对角线时，P2（0，3），

综上所述，满足条件的点P坐标为（3，0）或（6，3）或（0，3）．