Question

在四边形ABCD中，∠DAB=∠CBA，∠CDA=90°，∠BCD=78°，AB=2AD，则∠CAD的度数为（　　）

• A、60°
• B、66°
• C、72°
• D、80°

Answer 1

分析：在CD上取点E，使∠EAD=60°，根据含30度角的直角三角形的性质可推出AE=AB，由已知可求得∠DAB，∠EAB的度数，作∠ABE的角平分线BF交AE于F，可得到AF=BF=BE，从而可推出∠BEC=∠BCE，即得到AF=BF=BE=BC，连接CF得到△BFC为等边三角形，根据等边三角形的性质不难求得∠CFE的度数，再根据三角形外角的性质可求得∠FAC的度数，根据∠CAD=∠CAE+∠EAD即可求解．

解答：解：在CD上取点E，使∠EAD=60°，
∵∠D=90°，
∴∠AED=30°，
∴AE=2AD，
∵AB=2AD，
∴AE=AB，
∵∠CDA=90°，∠BCD=78°，
∴∠DAB=∠ABC=

1

2

（360°-90°-78°）=96°，
∴∠EAB=96°-60°=36°，
作∠ABE的角平分线BF交AE于F，则BF把△ABE分成两个等腰三角形，
∴AF=BF=BE，
∵∠BCE=78°，∠BEC=180°-30°-72°=78°，
∴∠BEC=∠BCE，
∴AF=BF=BE=BC．
∵∠FBC=∠ABC-∠ABF=96°-36°=60°，
连接CF得到△BFC为等边三角形，
∴AF=BF=FC，
∵∠CFE=∠BFE-∠BFC=72°-60°=12°，
∴∠FAC=

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2

∠CFE=

1

2

×12°=6°，
∴∠CAD=∠CAE+∠EAD=6°+60°=66°．
故选B．

点评：此题主要考查等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，等边三角形的判定与性质及三角形的外角的性质的综合运用．