Question

【题目】在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BD=BC，点E在对角线BD上，且∠DCE=∠DBC．

（1）求证：AD=BE；

（2）延长CE交AB于点F，如果CF⊥AB，求证：4EFFC=DEBD．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）证明△ABD≌△ECB，可得结论；

（2）连接AC，根据四边形ABCD是等腰梯形，得AC=BD，则BD=BC，由等腰三角形三线合一得：BF=AB，证明△DCE∽△DBC，得CD2=DBDE，再证明△BFE∽△CFB，得BF2=CFEF，由BF2=AB2=CD2代入可得结论．

（1）∵AB=CD，AD∥BC，

∴∠ABC=∠DCB，∠ADB=∠EBC．

∵∠DCE=∠DBC，∠ABC=∠ABD+∠DBC，∠DCB=∠DCE+∠ECB，

∴∠ABD=∠ECB．

在△ABD和△ECB中，，

∴△ABD≌△ECB（ASA），

∴AD=BE；

（2）连接AC，

∵AD∥BC，AB=CD，

∴四边形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

∵BD=BC，

∴AC=BC，

∵CF⊥AB，

∴BF=AF，

∴BF=AB，

∵∠DCE=∠DBC，

∴△DCE∽△DBC，

∴，

∴CD2=DBDE，

∵∠DCE=∠DBC，

∴∠FBE=∠FCB，

∴△BFE∽△CFB，

∴，

∴BF2=CFEF，

∵BF2==，

∴=CFEF，

∴DEDB=CFEF，

∴4EFFC=DEBD．