Question

如图，在△ABC中AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，AD、CE交于点H，已知EH=EB=3、AE=4，则DH的长是（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  3

• C．

  3

  4

• D．

  3

  5

Answer 1

分析：根据AD⊥BC，CE⊥AB，可得出∠EAH+∠B=90°∠EAH+∠AHE=90°，则∠B=∠AHE，则△AEH≌△CEB，从而得出CE=AE，根据已知条件得出CH的长，利用勾股定理求出AH的长，再通过证明△AEH∽△CDH，根据相似三角形的对应边比值相等即可求出DH的长．

解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠EAH+∠B=90°，
∵CE⊥AB，
∴∠EAH+∠AHE=90°，
∴∠B=∠AHE，
∵EH=EB，
∴△AEH≌△CEB，
∴CE=AE，
∵EH=EB=3，AE=4，
∴CH=CE-EH=4-3=1，
∵∠AEH=∠CDH=90°，∠AHE=∠CHD，
∴△AEH∽△CDH，
∴

AH

CH

=

AE

DH

，
∵在Rt△AEH中，AH=

AE2 +EH2

=5，
∴

5

1

=

3

DH

，
∴DH=

3

5

．
故选D．

点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，根据同角的余角相等得出∠B=∠AHE，证明三角形全等进而求出CH=1，是解此题的关键．