Question

【题目】如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，AD，BE相交于点H，过点B作⊙O的切线交AC的延长线于点F，若CD＝BD．

（1）求证：AC＝AB．

（2）若AH：DH＝3：1，求tan∠CBF的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由圆周角定理得出∠ADB=90°，得出AD⊥BC，由线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）设DH=x，则AH=3x，AD=4x，由等腰三角形的性质得出∠BAD=∠CAD，由弦切角定理得出∠CBF=∠BAD=∠CAD，由圆周角定理得出∠CAD=∠DBE，证出∠BAD=∠DBE，证明△ABD∽△BHD，得出＝，求出BD=2x，由三角函数定义即可得出结果．

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴AD⊥BC，

∵CD＝BD，

∴AC＝AB；

（2）∵AH：DH＝3：1，

设DH＝x，则AH＝3x，AD＝4x，

∵AC＝AB，AD⊥BC，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵BF是⊙O的切线，

∴∠CBF＝∠BAD＝∠CAD，

∵∠CAD＝∠DBE，

∴∠BAD＝∠DBE，

∵∠ADB＝∠BDH，

∴△ABD∽△BHD，

∴＝，

∴BD2＝AD×DH＝4x×x＝4x2，

∴BD＝2x，

∴tan∠CBF＝tan∠BAD＝＝．