【题目】平面直角坐标系xOy中,过原点O及点A(0,4)、C(12,0)作矩形OABC,∠AOC的平分线交AB于点D.点P从点O出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线OD方向移动;同时点Q从点O出发,以每秒4个单位长度的速度沿x轴正方向移动.设移动时间为t秒.
(1)当点P移动到点D时,求出此时t的值.
(2)当t为何值时,△PQB为直角三角形.
(3)已知过O、P、Q三点的抛物线解析式为y=﹣.问是否存在某一时刻t,将△PQB绕某点旋转180°后,三个对应顶点恰好都落在上述抛物线上?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)2;(2)当t=2或t=5+或t=5﹣时,△PQB为直角三角形.(3)存在这样的t值,t1=,t2=2.
【解析】
(1)首先根据矩形的性质求出DO的长,进而得出t的值;
(2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°,进而利用勾股定理分别分析得出PB2=(12﹣2t)2+(4﹣2t)2,QB2=(12﹣4t)2+42,PQ2=(4t﹣2t)2+(2t)2=8t2,再分别就∠PQB=90°和∠PBQ=90°讨论,求出符合题意的t值即可;
(3)存在这样的t值,若将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形,根据平行四边形的性质和对称性可求出t的值.
解:(1)∵四边形OABC是矩形,
∴∠AOC=∠OAB=90°,
∵OD平分∠AOC,
∴∠AOD=∠DOQ=45°,
∴在Rt△AOD中,∠ADO=45°,
∴AO=AD=4,
∴
(2)要使△PQB为直角三角形,显然只有∠PQB=90°或∠PBQ=90°.
如图1,
作PG⊥OC于点G,在Rt△POG中,
∵∠POQ=45°,
∴∠OPG=45°,
∵
∴OG=PG=2t,
∴点P(2t,2t)
又∵Q(4t,0),B(12,4),
根据两点间的距离公式可得:PB2=(12﹣2t)2+(4﹣2t)2,QB2=(12﹣4t)2+42,PQ2=(4t﹣2t)2+(2t)2=8t2,
①若∠PQB=90°,则有PQ2+BQ2=PB2,
即:8t2+[(12﹣4t)2+42]=(12﹣2t)2+(4﹣2t)2,
整理得:t2﹣2t=0,
解得:t1=0(舍去),t2=2,
∴t=2,
②若∠PBQ=90°,则有PB2+QB2=PQ2,
∴[(12﹣2t)2+(4﹣2t)2]+[(12﹣4t)2+42]=8t2,
整理得:t2﹣10t+20=0,
解得:
∴当t=2或或时,△PQB为直角三角形.
(3)存在这样的t值,理由如下:
将△PQB绕某点旋转180°,三个对应顶点恰好都落在抛物线上,
则旋转中心为PQ中点,此时四边形PBQB′为平行四边形.
∵PO=PQ,由P(2t,2t),Q(4t,0),知旋转中心坐标可表示为(3t,t),
∵点B坐标为(12,4),
∴点B′的坐标为(6t﹣12,2t﹣4),
代入 得:2t2﹣13t+18=0,
解得:
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【题目】如图,正方形ABCD中,AB=3,以B为圆心,AB长为半径画圆B,点P在圆B上移动,连接AP,并将AP绕点A逆时针旋转90°至Q,连接BQ,在点P移动过程中,BQ长度的最小值为_____.
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【题目】由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表:
甲 | 乙 | |
原料成本 | 12 | 8 |
销售单价 | 18 | 12 |
生产提成 | 1 | 0.8 |
(1)若该公司五月份的销售收入为300万元,求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只?
(2)公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成,如果公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润(利润=销售收入﹣投入总成本)
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【题目】如图是本地区一种产品30天的销售图像,图1是产品销售量y(件)与时间t(天)的函数关系,图2是一件产品的销售利润z(元)与时间t(天)的函数关系,已知日销售利润=日销售量×每件产品的销售利润,下列结论错误的是( )。
A. 第24天的销售量为200件B. 第10天销售一件产品的利润是15元
C. 第12天与第30天这两天的日销售利润相等D. 第30天的日销售利润是750元
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【题目】如图,抛物线y=﹣++2与x轴相交于A,B两点,(点A在B点左侧)与y轴交于点C.
(1)求A,B两点坐标.
(2)连结AC,若点P在第一象限的抛物线上,P的横坐标为t,四边形ABPC的面积为S.试用含t的式子表示S,并求t为何值时,S最大.
(3)在(2)的基础上,在整条抛物线上和对称轴上是否分别存在点G和点H,使以A,G,H,P四点构成的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出G,H的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点,两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F,当∠EPF在△ABC内绕点P旋转时,下列结论①EF=AP;②△EPF为等腰直角三角形;③AE=CF;④S四边形AEPF,正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】今年春北方严重干旱,某社区人畜饮水紧张,每天需从社区外调运饮用水120吨,有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供水点,甲厂每天最多可调出80吨,乙厂每天最多可调出90吨,从两水厂运水到社区供水点的路程和运费如下表:
到社区供水点的路程(千米) | 运费(元/吨·千米) | |
甲厂 | 20 | 12 |
乙厂 | 14 | 15 |
【1】若某天调运水的总运费为26700元,则从甲、乙两水厂各调运多少吨饮用水?
【2】设从甲厂调运饮用水吨,总运费为W元,试写出W关于与的函数关系式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最省?
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【题目】已知直线l1∥l2∥l3∥l4,相邻两条平行线间的距离均为h,矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,放置方式如图所示,AB=4,BC=6,则tanα的值等于( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,在宽20米,长32米的矩形耕地上,修筑同样宽的三条路(两条纵向,一条横向,并且横向与纵向互相垂直),把这块耕地分成大小相等的六块试验田,要使试验田的面积是570平方米,问道路应该多宽?
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