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如图,在直角坐标平面内,O为坐标原点,A点的坐标为(1,0),B点在x轴上且在点A的右侧,AB=OA,过点A和B作x轴的垂线分别交二次函数y=x2的图象于点C和D,直线OC交BD于M,直线CD交y轴于点H。记C、D的横坐标分别为xC,xD,点H的纵坐标yH

(1)证明:①S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3
②xC·xD=-yH
(2)若将上述A点坐标(1,0)改为A点坐标(t,0),t>0,其他条件不变,结论S△CMD:S梯形ABMC=2∶3是否仍成立?请说明理由。
(3)若A的坐标(t,0)(t>0),又将条件y=x2改为y=ax2(a>0),其他条件不变,那么XC、XD和yH又有怎样的数量关系?写出关系式,并证明。

(1)略
(2)成立
(3)xC·xD=-yH.解析:

解:(1)由已知可得点B的坐标为(2,0)点C的坐标为(1,1),点D的坐标为(2,4),且直线OC的函数解析式为y=x。
∴点M的坐标为(2,2),易得S△CMD=1,S梯形ABMC ………………(1.5')
∴S△CMD∶S梯形ABMC=2∶3,即结论①成立。
设直线CD的函数解析式为y=kx+b,则
          即
∴直线CD的解析式为y=3x-2。
由上述可得点H的坐标为(0,-2),即yH=-2 ……………(2.5')
∴xC·xD=-yH.    即结论②成立   ………………………………(3')
(2)结论S△CMD:S梯形ABMC=2:3仍成立. ………………………………………(4')
理由如下:∵点A的坐标为(t,0),(t>0).
则点B的坐标为(2t,0)
从而点C的坐标为(t,t2),点D的坐标为(2t,4t2).
设直线OC的解析式为y=kx,则t2=kt     得k=t
∴直线OC的解析式为y=tx   ………………………………(5')
又设M的坐标为(2t,y)
∵点M在直线OC上
∴当x=2t时,y=2t2
∴点M的坐标为(2t,2t2     ………………………………(6')
∴S△CMD:S梯形ABMC·2t2·t∶(t2+2t2)·t
=t3∶(t3
  …………………………………(7')
(3)xC,xD和yH有关数量关系xC·xD=-yH.………………………………(8')
由题意,当二次函数的解析式为y=ax2(a>0),且点A的坐标为(t,0)时,点C的坐标为(t,at2),点D的坐标为(2t,4at2) ………………(9')
设直线CD的解析式为y=kx+b
            得
∴CD的解析式为y=3atx-2at2 ……………………………………(11')
则H的坐标为(0,-2at2)即yH=-2at2…………………………(11.5')
∵xC·xD=t·2t=2t……………………………………………(12')
∴xC·xD=-yH.
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