Question

【题目】如图，在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE，BF，BD．

（1）求证：△ADE≌△CBF．
（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵平行四边形ABCD中
∴∠A=∠C，AD=BC，AB=DC

∵E、F分别为AB、CD的中点，
∴AE=AB，CF=DC

∴AE=CF．

在△ADE和△CBF中，

∴△ADE≌△CBF（SAS）

（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．

∵E是AB的中点，

∴DE= AB=BE．

∵在ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，

∴EB∥DF且EB=DF，

∴四边形BFDE是平行四边形．

∴四边形BFDE是菱形．

【解析】（1）抓住题中关键的已知条件平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，根据平行四边形的性质和线段中点的定义，易证AE=CF，∠A=∠C，AD=BC。可得到△ADE≌△CBF；（2）这是一道探究结论性的考题。先证明四边形BFDE是平行四边形，再证明一组邻边相等。而四边形BFDE是平行四边形易证，由AD⊥BD证得ABD是直角三角形，又有E是AB的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，易证到一组邻边相等，从而得出结论。
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直角三角形斜边上的中线和平行四边形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分．