Question

如图①，已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3）．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求抛物线的顶点坐标和对称轴；

（3）把抛物线向上平移，使得顶点落在x轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和y轴围成的图形的面积S（图②中阴影部分）．

Answer 1

分析：（1）把点A、B、C代入抛物线解析式y=ax²+bx+c利用待定系数法求解即可；

（2）把抛物线解析式整理成顶点式形式，然后写出顶点坐标与对称轴即可；

（3）根据顶点坐标求出向上平移的距离，再根据阴影部分的面积等于平行四边形的面积，列式进行计算即可得解．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c经过点A（0，3），B（3，0），C（4，3），

∴，解得，

所以抛物线的函数表达式为y=x²﹣4x+3；

（2）∵y=x²﹣4x+3=（x﹣2）²﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），对称轴为直线x=2；

（3）如图，∵抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），∴PP′=1，

阴影部分的面积等于平行四边形A′APP′的面积，

平行四边形A′APP′的面积=1×2=2，

∴阴影部分的面积=2．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，（3）根据平移的性质，把阴影部分的面积转化为平行四边形的面积是解题的关键．