Question

已知△ABC，
①如图1，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点；
②如图2，若P点是∠ABC和∠ACE的角平分线的交点；
③如图3，若P点是∠CBF和∠BCE的角平分线的交点．
（1）探究上述三种情况下，∠P与∠A的数量关系（直接写出结论）；
（2）任选一种情况加以证明．

Answer 1

分析：根据三角形的外角性质、内角和定理、角平分线的定义探求并证明．

解答：解：（1）对于图1：∠P=90°+

1

2

∠A；
对于图2：∠P=

1

2

∠A；
对于图3：∠P=90°-

1

2

∠A；

（2）证明：如图2，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，
∴∠PBC=

1

2

∠ABC，∠ACP=

1

2

∠ACE．
又∵∠ACE是△ABC的外角，
∴∠ACE=∠A+∠ABC．
∵∠P=180°-∠PBC-∠BCP，
∴∠P=180°-

1

2

∠ABC-∠ACB-∠ACP
=180°-

1

2

∠ABC-∠ACB-

1

2

∠ACE
=180°-

1

2

(∠ABC+∠A+∠ABC)-∠ACB
=180°-∠ABC-

1

2

∠A-∠ACB
=180°-（∠ABC+∠ACB）-

1

2

∠A
=180°-（180°-∠A）-

1

2

∠A
=∠A-

1

2

∠A
=

1

2

∠A．

点评：本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，是经常出现的题目，最好能记住．