Question

6．如图，点C为△ABD的外接圆上的一动点（点C不在$\widehat{BAD}$上，且不与点B，D重合），∠ACB=∠ABD=45°
（1）求证：BD是该外接圆的直径；
（2）连结CD，求证：$\sqrt{2}$AC=BC+CD；
（3）若△ABC关于直线AB的对称图形为△ABM，连接DM，试探究DM²，AM²，BM²三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）要证明BD是该外接圆的直径，只需要证明∠BAD是直角即可，又因为∠ABD=45°，所以需要证明∠ADB=45°；
（2）在CD延长线上截取DE=BC，连接EA，只需要证明△EAC是等腰直角三角形即可得出结论；
（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，证明△AMF是等腰三角形后，可得出AM=AF，MF=$\sqrt{2}$AM，然后再证明△ABF≌△ADM可得出BF=DM，最后根据勾股定理即可得出DM²，AM²，BM²三者之间的数量关系．

解答 解：（1）∵$\widehat{AB}$=$\widehat{AB}$，
∴∠ACB=∠ADB=45°，
∵∠ABD=45°，
∴∠BAD=90°，
∴BD是△ABD外接圆的直径；

（2）在CD的延长线上截取DE=BC，
连接EA，
∵∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
∵∠ADE+∠ADC=180°，
∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABC=∠ADE，
在△ABC与△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠ABC=∠ADE}\\{BC=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADE（SAS），
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE=90°，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{AD}$
∴∠ACD=∠ABD=45°，
∴△CAE是等腰直角三角形，
∴$\sqrt{2}$AC=CE，
∴$\sqrt{2}$AC=CD+DE=CD+BC；

（3）过点M作MF⊥MB于点M，过点A作AF⊥MA于点A，MF与AF交于点F，连接BF，
由对称性可知：∠AMB=∠ACB=45°，
∴∠FMA=45°，
∴△AMF是等腰直角三角形，
∴AM=AF，MF=$\sqrt{2}$AM，
∵∠MAF+∠MAB=∠BAD+∠MAB，
∴∠FAB=∠MAD，
在△ABF与△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AM}\\{∠FAB=∠MAD}\\{AB=AD}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADM（SAS），
∴BF=DM，
在Rt△BMF中，
∵BM²+MF²=BF²，
∴BM²+2AM²=DM²．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理等知识，综合程度较高，解决本题的关键就是构造等腰直角三角形．