如图(1).矩形ABCD的边AB=4.BC=8.将Rt△ABC绕点B逆时针旋转90°得到Rt△GEF.点E与B重合.将△GEF从B以每秒1个单位的速度向射线BC方向匀速移动.当点G与点C重合时停止运动.设运动时间为t秒.解答下列问题:(1)在运动过程中.当t为何值时.GF过点A,(2)在整个运动过程中.设△GEF与△ACD重叠部分的面积为S.求S与t的函数� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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1．如图（1），矩形ABCD的边AB=4，BC=8，将Rt△ABC绕点B逆时针旋转90°得到Rt△GEF，点E与B重合，将△GEF从B以每秒1个单位的速度向射线BC方向匀速移动，当点G与点C重合时停止运动，设运动时间为t秒，解答下列问题：
（1）在运动过程中，当t为何值时，GF过点A；
（2）在整个运动过程中，设△GEF与△ACD重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；
（3）如图（2）在运动过程中当0≤t≤8时，连接BD交AC与O，设EF与线段BD交于点P，是否存在△PEO为等腰三角形？若存在，求出相应的t，若不存在说明理由．

分析（1）如图1，由旋转和平移的性质可知BF=BC=E′F′，易得F′M=ME′=4，可得AM为△G′E′F′的中位线，由中位线的性质可得AM的长，易得t；
（2）利用分类讨论的思想，①当0≤t≤2时，如图1，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，可得S=$\frac{1}{4}$t²；
②如图2，当2＜t≤8时，AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），利用相似三角形的性质可得AN=t-2，NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），由S=S_△MPA-S_△AQN 可得结果；
③当8＜t≤10时，利用S=S_△ADC-S_△ANQ，求出答案；
④当10＜t≤12时，可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t），QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t），再利用S=$\frac{1}{2}$QM•QC求出答案；
（3）首先表示出PE²=（$\frac{1}{2}$t）²，QE²=2²+（4-t）²，OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$，再分别利用①当PO=PE时，②当EO=EP时，③当OE=OP时，求出答案．

解答解：（1）∵F′M=ME′=4，
∴t=AM=$\frac{1}{2}G′E′=2$，
即当t=2时，GF过点；

（2）①如图1，当0≤t≤2时，AM=t，MP=$\frac{1}{2}t$，S=$\frac{1}{4}$t²，
②如图2，当2＜t≤8时，AN=t-2，
∵△ANQ∽△ACD，
∴$\frac{NQ}{AN}$=$\frac{CD}{AC}$，
∴$\frac{NQ}{t-2}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$，
∴NQ=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2），
AQ=$\frac{2\sqrt{5}}{5}（t-2）$，
∴S=S_△MPA-S_△AQN=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{4}$t²-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=$\frac{1}{20}$t²+$\frac{4}{5}$t$-\frac{4}{5}$；
③如图3，当8＜t≤10时，
S=S_△ADC-S_△ANQ
=16-$\frac{1}{5}$（t-2）²
=-$\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}$t-$\frac{4}{5}$+16
=$-\frac{1}{5}$t²+$\frac{4}{5}t$$+\frac{76}{5}$；
④当10＜t≤12时，
可得：CG=12-t，CM=24-2t，QC=$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
QM=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$（24-2t）
∴S=$\frac{1}{2}$QM•QC
=$\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{5}}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$（24-2t）²
=$\frac{1}{5}$（24-2t）²
=-$\frac{4}{5}$t²-$\frac{96}{5}$t+$\frac{576}{5}$，
综上，有S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}{t}^{2}（0≤t≤2）}\\{\frac{1}{20}{t}^{2}+\frac{4}{5}t-\frac{4}{5}（2＜t≤8）}\\{-\frac{1}{5}{t}^{2}+\frac{4}{5}t+\frac{76}{5}（8＜t≤10）}\\{\frac{4}{5}{t}^{2}-\frac{96}{5}t+\frac{576}{5}（10＜t≤12）}\end{array}\right.$；

（3）如图5，PE²=（$\frac{1}{2}$t）²=$\frac{1}{4}$t²，OE²=2²+（4-t）²=4+16-8t+t²，
OP²=${（2\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}t）}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
①当PO=PE时，
$\frac{1}{4}{t}^{2}$=20-10t+$\frac{5}{4}$t²
解得：t=5$±\sqrt{5}$；
②当EO=EP时，
t²-8t+20=$\frac{1}{4}$t²，
解得：t₁=4，t₂=$\frac{20}{3}$；
③当OE=OP时，
t²-8t+20=20-10t+$\frac{5}{4}$t²，
解得：t₃=0，t₄=8；
当t=0时，P，E重合当t=4时，O，P重合，
综上所述：t的值为5+$\sqrt{5}$，5-$\sqrt{5}$，$\frac{20}{3}$，8．

点评此题主要考查了四边形综合以及勾股定理和相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，正确利用分类讨论得出t的值以及结合分段函数求出函数关系式是解题关键．

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