Question

7．如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则$\frac{GH}{EF}$的值是（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 首先设⊙O的半径是r，则OF=r，根据AO是∠EAF的平分线，求出∠COF=60°，在Rt△OIF中，求出FI的值是多少；然后判断出OI、CI的关系，再根据GH∥BD，求出GH的值是多少，即可解决问题．

解答 解：如图，连接AC、BD、OF，，
设⊙O的半径是r，
则OF=r，
∵AO是∠EAF的平分线，
∴∠OAF=60°÷2=30°，
∵OA=OF，
∴∠OFA=∠OAF=30°，
∴∠COF=30°+30°=60°，
∴FI=r•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r，
∴EF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$r×2=$\sqrt{3}$r，
∵AO=2OI，
∴OI=$\frac{1}{2}$r，CI=r-$\frac{1}{2}$r=$\frac{1}{2}$r，
∴$\frac{GH}{BD}$=$\frac{CI}{CO}$=$\frac{1}{2}$，
∴GH=$\frac{1}{2}$BD=r，
∴$\frac{GH}{EF}$=$\frac{r}{\sqrt{3}r}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选C．

点评 此题主要考查了正多边形与圆的关系、相似三角形的判断和性质以及特殊角的锐角三角函数值，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确正多边形的有关概念．