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13.如图,正方形ABCD中,AB=12,点E在边BC上,BE=EC,将△DCE沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG,BF.
(1)求证:AG=FG;
(2)求cos∠BGE的值.

分析 (1)根据正方形的性质可得∠C=∠A=90°,DC=DA,根据翻折的性质可得DF=DC,∠DFE=∠C=90°,然后求出∠DFG=∠A=90°,DF=DA,再利用“HL”证明Rt△ADG和Rt△FDG全等,根据全等三角形对应边相等证明即可;
(2)先求出BE=EC=EF=6,设AG=x,表示出EG、BG,然后利用勾股定理列方程求出x的值,从而得到BG、EG,最后根据锐角的余弦等于邻边比斜边求解即可.

解答 (1)证明:∵正方形ABCD,
∴∠C=∠A=90°,DC=DA,
∵△DCE沿DE对折得到△DFE,
∴DF=DC,∠DFE=∠C=90°,
∴∠DFG=∠A=90°,DF=DA,
在Rt△ADG和Rt△FDG中,$\left\{\begin{array}{l}{DG=DG}\\{DF=DA}\end{array}\right.$,
∴Rt△ADG≌Rt△FDG(HL),
∴AG=FG;

(2)解:∵正方形ABCD中,AB=12,BE=EC,
∴BE=EC=EF=6,
设AG=x,则EG=6+x,
BG=12-x,
在Rt△BEG中,根据勾股定理得,EG2=BE2+BG2
即(6+x)2=62+(12-x)2
解得x=4,
所以,BG=12-4=8,
EG=6+4=10,
所以,cos∠BGE=$\frac{BG}{GE}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$.

点评 本题考查了翻折变换的性质,正方形的性质,全等三角形的判定与性质,解直角三角形,翻折前后对应边相等,对应角相等,此类题目,难点在于利用勾股定理列出方程从而求出相关线段的长度.

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