解:作OQ关于OP的对称射线OM,A关于OP的对称点A′,
∴AA
1=A′A
1,
则AA
1+A
1A
2=A′A
1+A
1A
2,
根据“两点之间线段最短”,
当A′,A
1,A
2在一条直线时,AA
1+A
1A
2最小=A′A
2,
同理,作OM关于OQ的对称射线ON,A′关于OQ的对称点A″,
∴A′A
2=A″A
2,
则A
2B=A″A
2+A
2B,
根据“两点之间线段最短”,
当A″,A
2,B在一条直线上时,A′A
2+A
2B最小=A″B,
由对称可知:∠POQ=∠POM=20°,即∠MOQ=40°,
再由对称可知:∠NOQ=∠MOQ=40°,且OA=OA′=OA″=1,
在△OA″B,∠A″OB=∠POQ+∠NOQ=20°+40°=60°,
取OB的中点E,连接A″E,如图所示:
则OA″=OE=BE=
OB=1,
又∠A″OB=60°,
∴△OA″E为等边三角形,
∴∠OEA″=60°,A″E=1,即A″E=BE,
∴∠BA″E=∠B,
又∠OEA″是△A″EB的外角,
∴∠OEA″=∠BA″E+∠B=2∠B=60°,
∴∠B=30°,
∴∠OA″B=180°-60°-30°=90°,
∴△OA″B为直角三角形,
A″B=
=
,
则l=AA
1+A
1A
2+A
2B的最小值为
.
分析:作出OQ关于OP的对称射线OM,在射线OM上找出A关于OP的对称点A′,根据对称性质可得AA
1=A′A
1,把要求的AA
1+A
1A
2转化为A′A
1+A
1A
2,然后根据“两点之间线段最短”,只有当A′,A
1,A
2在一条直线上时,满足AA
1+A
1A
2最小值等于A′A
2;找出射线OM关于OQ的对称射线,在射线ON上找出A′关于OQ的对称点A″,同理只有当A″,A
2,B在一条直线上时,满足A′A
2+A
2B最小值等于A″B,然后根据对称性质求出OA″的长及∠BOA″,以及OB,判断可得三角形OBA″为直角三角形,由OB和OA″的长,根据勾股定理求出A″B的长,即为l的最小值.
点评:此题考查了利用轴对称求最短路线的问题,涉及的知识有对称线段的性质,轴对称的性质,线段公理等,利用了数形结合及转化的思想,此类题往往利用的是“情理结合法”,即由实情联想原理,再由原理解决问题.能正确画图和根据画图条件进行推理是解本题的关键.