Question

如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，连接CD，过B作BE⊥CD交CD的延长线于点E，连接AE，过A作AF⊥AE交CD于点F.

（1）求证：AE=AF；  （2）求证：CD=2BE+DE.

Answer 1

（1）

∵∠BAC=90°, AF⊥AE

∴∠EAB+∠BAF=∠BAF+∠FAC=90°

∴∠EAB=∠FAC                

∵BE⊥CD

∴∠BEC=90°

∴∠EBD+∠EDB=∠ADC+∠ACD=90°

∵∠EDB=∠ADC

∴∠EBD =∠ACD               

∵AB=AC

∴△AEB≌△AFC

∴ AE=AF                   

（2）

作AG⊥EC,垂足为G

∵AG⊥EC, BE⊥CD

∴∠BED=∠AGD=90°           

∵点是AB的中点

∴BD=AD                      

∵∠BED=∠AGD

∴△BED≌△AGD                   

∴ED=GD,BE=AG            

∵AE=AF

∴∠AEF=∠AFE=45°

∴∠FAG=45°

∴∠GAF=∠GFA

∴GA=GF                     

∴CF=BE=AG=GF                     

∵CD=DG+GF+FC

∴CD=DE+BE+BE

∴CD=2BE+DE