Question

1．已知△ABC中，D、E分别在BC、AB上，且∠ACB=∠DEB=90°，当M为AD的中点时，连CM、EM．

（1）①如图1，若∠ABC=45°，则MC=ME，∠CME=90°；
     ②如图2，若∠ABC=30°，则MC与ME的数量关系为MC=ME，∠CME=120°；
（2）将图2中的△DEB绕点B逆时针旋转30°得到图3，请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小并给予证明；
（3）如图4，在△ABC和△BDE中，∠ACB=∠DEB=90°，∠ABC=∠DBE=α，点M仍为AD的中点，现将△BDE绕点B逆时针旋转β（0°＜β＜90°），请探究MC与ME的数量关系和∠CME的大小，并给予证明．

Answer 1

分析 （1）①根据三角形的中位线即可求得MC=ME，根据三角形外角的性质即可求得∠CME=2∠CAB=90°．②根据三角形的中位线即可求得MC=ME，根据三角形外角的性质即可求得∠CME=2∠CAB=120°；
（2）延长AC、BD交于F，根据ASA证得△ABC≌△FCB，得出AB=BF，AC=CF，从而证得△ABF是等边三角形，由∠ACB=∠FCB=90°，AF∥DG，得出四边形AFDG是等腰梯形，然后根据三角形的中位线即可求得MC=ME，根据三角形外角的性质即可求得∠CME=2∠CAB=120°．
（3）延长AC至F，使AC=CF，连接DF、BF，延长DE至G，使EG=DE，连接AG、BG，则CM∥$\frac{1}{2}$DF，CM=$\frac{1}{2}$DF，ME∥$\frac{1}{2}$AG，ME=$\frac{1}{2}$AG，根据垂直平分线的性质得出AB=FB，BG=BD，得出∠ABC=∠FBC，∠GBE=∠EBD，进而得出∠ABG=∠FBD，根据SAS证得△ABG≌△BFD（SAS），得出AG=DF，得出MC=ME，然后根据三角形外角的性质即可求得∠CME=180°-2α．

解答 解：（1）①MC=ME，∠CME=90°；
在RT△ACD中，M是AD的中点，
∴MC=AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ACM=∠CAM，
∴∠CMD=2∠CAM，
同理：ME=$\frac{1}{2}$AD，∠EMD=2∠EAM，
∴∠CMD+∠EMD=2（∠CAM+∠WAM），
即∠CME=2∠CAB=90°．
故答案为ME，90；
②MC=ME，∠CME=120°；
在RT△ACD中，M是AD的中点，
∴MC=AM=$\frac{1}{2}$AD，
∴∠ACM=∠CAM，
∴∠CMD=2∠CAM，
同理：ME=$\frac{1}{2}$AD，∠EMD=2∠EAM，
∴∠CMD+∠EMD=2（∠CAM+∠WAM），
即∠CME=2∠CAB，
∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，
∴∠CAB=60°，
∴∠CME=2∠CAB=120°；
（2）MC=ME，∠CME=120°；
延长AC、BD交于F，
在△ABC和△FCB中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABC=∠FBC=30°}\\{BC=BC}\\{∠ACB=∠FCB=90°}\end{array}\right.$
∴△ABC≌△FCB（ASA），
∴AB=BF，AC=CF，
∵∠ABF=∠ABC+∠FBC=60°，
∴△ABF是等边三角形，
∵AM=MD，
∴CM=$\frac{1}{2}$DF，CM∥BF，
∴∠DMC=∠CAD，
∵∠ACB=∠FCB=90°，
∴AF∥DG，
∴△BDG是等边三角形，
∴BD=BG，BC⊥DG，
∴AG=DF，DE=EG，
∴ME=$\frac{1}{2}$AG，ME∥AB，
∴∠DME=∠DAB，
∴∠CME=2∠BAC=120°；
（3）MC=ME，∠CME=180°-2α；
延长AC至F，使AC=CF，连接DF、BF，延长DE至G，使EG=DE，连接AG、BG，则CM∥$\frac{1}{2}$DF，CM=$\frac{1}{2}$DF，ME∥$\frac{1}{2}$AG，ME=$\frac{1}{2}$AG，
∵AC⊥BC，BM⊥BE
∴AB=FB，BG=BD，
∴∠ABC=∠FBC，∠GBE=∠EBD，
∴∠ABG=∠FBD，
在△ABG和△BFD中
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BF}\\{∠ABG=∠FBD}\\{BG=BD}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△BFD（SAS），
∴AG=DF，
∴MC=ME，
延长AD交BF于H，∠CMD=∠FDH，∠DME=∠DAG=∠DAB+∠DFH，
∴∠CME=∠FDH+∠DFH+∠DAB=∠AHB+∠DAB=180°-∠ABH=180°-2α．

点评 本题是几何变换的综合题，考查了三角形的中位线定理，三角形外角的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质等，熟练掌握性质定理是解题的关键．