Question

如图，把正△ABC的外接圆对折，使点A落在弧BC的中点F上，若BC=5，则正△ABC的外接圆半径为

5 3

3

，折痕在△ABC内的部分DE长为

10

3

．

Answer 1

分析：连接AF，由折叠可得AF为三角形ABC外接圆直径，且O为圆心，由垂径定理得AF垂直于BC，且G为BC的中点，由BC的长求出BG的长，O为三角形的外心，得到OA=OB，在直角三角形OBG中，利用30度所对的直角边等于斜边的一半得出OG为OB的一半，即OG等于OA的一半，在直角三角形OBG中，利用勾股定理求出OG的长，确定出OB的长，即为三角形ABC外接圆的半径，由AO：AG=2：3，而DE与AF垂直，BC与AF垂直，得到DE平行于BC，利用两直线平行得到两对同位角相等，得出三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例，由BC的长，即可求出DE的长．

解答：解：连接AF，与DE交于点O，与BC交于点G，连接OB，
由折叠可知：AF为△ABC外接圆的直径，O为圆心，
∵F为弧BC的中点，
∴AF⊥BC，G为BC的中点，即BG=

1

2

BC=2.5，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠OBC=30°，
∴在Rt△BOG中，BO=2OG，
∴AO=BO=2OG，
根据勾股定理得：BO²=BG²+OG²，即4OG²=6.25+OG²，
解得：OG=

5 3

6

，
则△ABC外接圆半径AO=2OG=

5 3

3

，
由折叠可得：DE⊥AF，又BC⊥AF，
∴DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AO

AG

=

2

3

，
则DE=

2

3

×5=

10

3

．
故答案为：

5 3

3

；

10

3

点评：此题考查了垂径定理，等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，以及解直角三角形，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．