Question

5．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，在菱形ABCD内部有一点P，当PA+PB+PC值最小时，PB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，则线段BD即为PA+PB+PC最小值的线段；当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．先由旋转的性质得出△APC≌△DEC，则CP=CE，再证明△PCE是等边三角形，得到PE=CE=CP，然后根据菱形、三角形外角的性质，等腰三角形的判定得出BP=CP，同理，得出DE=CE，则BP=PE=ED=$\frac{1}{3}$BD．

解答 解：将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，连接PE、DE，
则线段BD等于PA+PB+PC最小值的线段；
如图，当B、P、E、D四点共线时，PA+PB+PC值最小，最小值为BD．
∵将△APC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，
∴△APC≌△DEC，
∴CP=CE，∠PCE=60°，
∴△PCE是等边三角形，
∴PE=CE=CP，∠EPC=∠CEP=60°．
∵菱形ABCD中，∠ABP=∠CBP=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠PCB=∠EPC-∠CBP=60°-∠30°=30°，
∴∠PCB=∠CBP=30°，
∴BP=CP，
同理，DE=CE，
∴BP=PE=ED．
连接AC，交BD于点O，则AC⊥BD．
在Rt△BOC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=30°，BC=4，
∴BO=BC•cos∠OBC=4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=2$\sqrt{3}$，
∴BD=2BO=4$\sqrt{3}$，
∴BP=$\frac{1}{3}$BD=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
即当PA+PB+PC值最小时PB的长为$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了轴对称的性质，菱形的性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识点，同时考查了学生的阅读理解能力和知识的迁移能力，综合性较强，有一定难度．读懂阅读材料，画出最小值的线段是解题的关键．