Question

如图，⊙O的直径AB=4，C、D为圆周上两点，且四边形OBCD是菱形，过点D的直线EF∥AC，交BA、BC的延长线于点E、F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）求DE的长．

Answer 1

分析：（1）要证EF是⊙O的切线，只要证明∠2=90°即可．
（2）连接OC，根据菱形的判定和性质先求出∠EOD=∠B=60°，再根据三角函数的知识求出DE的长．

解答：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD∥BC．
∴∠1=∠ACB=90°．
∵EF∥AC，
∴∠2=∠1=90°．
∵OD是半径，
∴EF是⊙O的切线．

（2）解：连接OC，
∵直径AB=4，
∴半径OB=OC=2．
∵四边形OBCD是菱形，
∴OD=BC=OB=OC=2．
∴∠B=60°．
∵OD∥BC，
∴∠EOD=∠B=60°．
在Rt△EOD中，DE=OD•tan∠EOD=2×tan60°=2

3

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点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了菱形的判定和性质及三角函数的知识．