Question

【题目】已知：如图，中，，于，平分，且于，与相交于点

（1）求证：； （2）求证：；

（3）取边的中点，连结、、，取的中点G，连结，说明GH与DE的位置关系．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）GH⊥DE，理由见解析.

【解析】

（1）根据等腰直角三角形的性质可得DB＝DC，根据同角的余角相等可得∠DBF＝∠ACD，然后利用ASA证明△ADC≌△FDB即可得到BF＝AC；

（2）根据等角的余角相等可得∠A＝∠BCA，进而得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质（三线合一），可得AE＝EC＝AC＝BF；

（3）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明DH=EH，然后根据等腰三角形的性质（三线合一）可得结论．

（1）∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，

∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴DB＝DC，

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠ADC＝90°，

∴∠A＋∠ABE＝90°，∠A＋ACD＝90°，

∴∠DBF＝∠ACD，

在△ADC和△FDB中，，

∴△ADC≌△FDB（ASA），

∴BF＝AC；

（2）∵∠ABE＝∠CBE，∠ABE＋∠A＝90°，∠CBE＋∠BCA＝90°，

∴∠A＝∠BCA，

∴BA＝BC，

∵BE⊥AC，

∴AE＝CE，

∵AC＝BF，

∴CE＝BF；

（3）GH⊥DE，

理由：如图，

∵在Rt△BDC和Rt△BEC中，H为BC中点，

∴DH=BC，EH=BC，

∴DH=EH，

∵G为DE中点，

∴GH⊥DE.