Question

如图，点A、B、C是⊙O上的三点，AB∥OC，CE⊥AB，垂足为AB延长线上的点E，
（Ⅰ）求证：EC与⊙O相切；
（Ⅱ）当⊙O半径为2，∠BAC=30°时，求切线EC的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）根据平行线的性质推出CE⊥OC，根据切线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理得出AC=2CD，求出CD的长，求出AC，根据含30度角的直角三角形性质求出即可．

解答：（1）证明：∵AB∥OC，CE⊥AB，
∴CE⊥OC，
∵OC为半径，
∴EC与⊙O相切；


（2）解：过O作OD⊥AC于D，
则AD=CD=

1

2

AC，
∵OC∥AB，∠BAC=30°，
∴∠OCA=∠BAC=30°，
∵OC=2，
∴OD=1，
∴CD=

3

，
∴AC=2CD=2

3

，
∵在Rt△AEC中，∠E=90°，AC=2

3

，∠EAC=30°，
∴CE=

1

2

AC=

3

．

点评：本题考查了切线的判定，平行线的性质，含30度角的直角三角形性质，垂径定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．