Question

（2013•沈阳）已知等边三角形ABC的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P，若点P到AB的距离是1，点P到AC的距离是2，则点P到BC的最小距离和最大距离分别是

1，7

．

Answer 1

分析：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，利用锐角三角函数定义及特殊角的三角函数值求出DB与FB的长，以及CG与CE的长，进而由DB+BC+CE求出DE的长，由BC-BF-CG求出FG的长，求出等边三角形NFG与等边三角形MDE的高，即可确定出点P到BC的最小距离和最大距离．

解答：解：根据题意画出相应的图形，直线DM与直线NF都与AB的距离为1，直线NG与直线ME都与AC的距离为2，
当P与N重合时，HN为P到BC的最小距离；当P与M重合时，MQ为P到BC的最大距离，
根据题意得到△NFG与△MDE都为等边三角形，
∴DB=FB=

1

sin60°

=

2 3

3

，CE=CQ=

2

sin60°

=

4 3

3

，
∴DE=DB+BC+CE=

2 3

3

+

8 3

3

+

4 3

3

=

14 3

3

，FG=BC-BF-CG=

2 3

3

，
∴NH=

3

2

FG=1，MQ=

3

2

DE=7，
则点P到BC的最小距离和最大距离分别是1，7．
故答案为：1，7

点评：此题考查了等边三角形的性质，以及平行线间的距离，作出相应的图形是解本题的关键．