分析 (1)根据题意设抛物线解析式为:y=a(x+3)(x-1),然后把点C(0,-3m)代入解析式,用m表示出a,进而用m表示出b和c;
(2)过点D作DE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥y轴于点F,首先求出顶点D的坐标,进而用m表示出AC、CD和AD的长,再根据△ADC为直角三角形,要分三种情况进行讨论:①当点A为直角顶点;②点D为直角顶点;③点C为直角顶点;利用勾股定理列出m的方程,求出m的值即可.
解答 解:(1)∵抛物线与x轴交点为A(-3,0)、B(1,0),
∴抛物线解析式为:y=a(x+3)(x-1),
将点C(0,-3m)代入上式,得a×3×(-1)=-3m,
∴m=a,
∴抛物线的解析式为:y=m(x+3)(x-1)=mx2+2mx-3m,
∴a=m,b=2m,c=-3m;
(2)∵y=mx2+2mx-3m=m(x+1)2-4m,
∴顶点D坐标为(-1,-4m),
如图,过点D作DE⊥x轴于点E,则DE=4m,OE=1,AE=OA-OE=2,
过点D作DF⊥y轴于点F,则DF=1,CF=OF-OC=4m-3m=m.
由勾股定理得:
AC2=OC2+OA2=9m2+9;
CD2=CF2+DF2=m2+1;
AD2=DE2+AE2=16m2+4,
∵△ACD为直角三角形,
①若点A为直角顶点,则AC2+AD2=CD2,
即:(9m2+9)+(16m2+4)=m2+1,
整理得:m2=-$\frac{1}{2}$,
∴此种情形不存在;
②若点D为直角顶点,则AD2+CD2=AC2,
即:(16m2+4)+(m2+1)=9m2+9,
整理得:m2=$\frac{1}{2}$,
∵m>0,
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.
③若点C为直角顶点,则AC2+CD2=AD2,
即:(9m2+9)+(m2+1)=16m2+4,
整理得:m2=1,
∵m>0,
∴m=1,
综上所述,当m=1或m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时,△ADC为直角三角形.
点评 本题主要考查了二次函数的综合题,此题涉及到了抛物线与x轴交点、勾股定理、直角三角形的判定、二次函数的性质等知识,解答本题的关键是分类讨论直角三角形的顶点,利用勾股定理进行解题,此题难度不大.
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