Question

4．二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，-3m）（其中m＞0），顶点为D．
（1）用含m的代数式分别表示a、b、c；
（2）如图，当m取何值时，△ADC为直角三角形？

Answer 1

分析 （1）根据题意设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1），然后把点C（0，-3m）代入解析式，用m表示出a，进而用m表示出b和c；
（2）过点D作DE⊥x轴于点E，过点D作DF⊥y轴于点F，首先求出顶点D的坐标，进而用m表示出AC、CD和AD的长，再根据△ADC为直角三角形，要分三种情况进行讨论：①当点A为直角顶点；②点D为直角顶点；③点C为直角顶点；利用勾股定理列出m的方程，求出m的值即可．

解答 解：（1）∵抛物线与x轴交点为A（-3，0）、B（1，0），
∴抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-1），
将点C（0，-3m）代入上式，得a×3×（-1）=-3m，
∴m=a，
∴抛物线的解析式为：y=m（x+3）（x-1）=mx²+2mx-3m，
∴a=m，b=2m，c=-3m；

（2）∵y=mx²+2mx-3m=m（x+1）²-4m，
∴顶点D坐标为（-1，-4m），
如图，过点D作DE⊥x轴于点E，则DE=4m，OE=1，AE=OA-OE=2，
过点D作DF⊥y轴于点F，则DF=1，CF=OF-OC=4m-3m=m．
由勾股定理得：
AC²=OC²+OA²=9m²+9；
CD²=CF²+DF²=m²+1；
AD²=DE²+AE²=16m²+4，
∵△ACD为直角三角形，
①若点A为直角顶点，则AC²+AD²=CD²，
即：（9m²+9）+（16m²+4）=m²+1，
整理得：m²=-$\frac{1}{2}$，
∴此种情形不存在；
②若点D为直角顶点，则AD²+CD²=AC²，
即：（16m²+4）+（m²+1）=9m²+9，
整理得：m²=$\frac{1}{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
③若点C为直角顶点，则AC²+CD²=AD²，
即：（9m²+9）+（m²+1）=16m²+4，
整理得：m²=1，
∵m＞0，
∴m=1，
综上所述，当m=1或m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，△ADC为直角三角形．

点评 本题主要考查了二次函数的综合题，此题涉及到了抛物线与x轴交点、勾股定理、直角三角形的判定、二次函数的性质等知识，解答本题的关键是分类讨论直角三角形的顶点，利用勾股定理进行解题，此题难度不大．