Question

19．在平面直角坐标系中，我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．

已知抛物线y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$与其“梦想直线”交于A、B两点（点A在点B的左侧），与x轴负半轴交于点C．
（1）填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，点A的坐标为（-2，2$\sqrt{3}$），点B的坐标为（1，0）；
（2）如图，点M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标；
（3）当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E、F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由梦想直线的定义可求得其解析式，联立梦想直线与抛物线解析式可求得A、B的坐标；
（2）当N点在y轴上时，过A作AD⊥y轴于点D，则可知AN=AC，结合A点坐标，则可求得ON的长，可求得N点坐标；当M点在y轴上即，M点在原点时，过N作NP⊥x轴于点P，由条件可求得∠NMP=60°，在Rt△NMP中，可求得MP和NP的长，则可求得N点坐标；
（3）当AC为平行四边形的一边时，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，可证△EFH≌△ACK，可求得DF的长，则可求得F点的横坐标，从而可求得F点坐标，由HE的长可求得E点坐标；当AC为平行四边形的对角线时，设E（-1，t），由A、C的坐标可表示出AC中点，从而可表示出F点的坐标，代入直线AB的解析式可求得t的值，可求得E、F的坐标．

解答 解：
（1）∵抛物线y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$，
∴其梦想直线的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
联立梦想直线与抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\frac{2\sqrt{3}}{3}{x}^{2}-\frac{4\sqrt{3}}{3}x+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=0}\end{array}\right.$，
∴A（-2，2$\sqrt{3}$），B（1，0），
故答案为：y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$；（-2，2$\sqrt{3}$）；（1，0）；
（2）当点N在y轴上时，△AMN为梦想三角形，
如图1，过A作AD⊥y轴于点D，则AD=2，

在y=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x²-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$中，令y=0可求得x=-3或x=1，
∴C（-3，0），且A（-2，2$\sqrt{3}$），
∴AC=$\sqrt{（-2+3）^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
由翻折的性质可知AN=AC=$\sqrt{13}$，
在Rt△AND中，由勾股定理可得DN=$\sqrt{A{N}^{2}-A{D}^{2}}$=$\sqrt{13-4}$=3，
∵OD=2$\sqrt{3}$，
∴ON=2$\sqrt{3}$-3或ON=2$\sqrt{3}$+3，
当ON=2$\sqrt{3}$+3时，则MN＞OD＞CM，与MN=CM矛盾，不合题意，
∴N点坐标为（0，2$\sqrt{3}$-3）；
当M点在y轴上时，则M与O重合，过N作NP⊥x轴于点P，如图2，

在Rt△AMD中，AD=2，OD=2$\sqrt{3}$，
∴tan∠DAM=$\frac{MD}{AD}$=$\sqrt{3}$，
∴∠DAM=60°，
∵AD∥x轴，
∴∠AMC=∠DAO=60°，
又由折叠可知∠NMA=∠AMC=60°，
∴∠NMP=60°，且MN=CM=3，
∴MP=$\frac{1}{2}$MN=$\frac{3}{2}$，NP=$\frac{\sqrt{3}}{2}$MN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴此时N点坐标为（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
综上可知N点坐标为（0，2$\sqrt{3}$-3）或（$\frac{3}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$）；
（3）①当AC为平行四边形的边时，如图2，过F作对称轴的垂线FH，过A作AK⊥x轴于点K，

则有AC∥EF且AC=EF，
∴∠ACK=∠EFH，
在△ACK和△EFH中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACK=∠EFH}\\{∠AKC=∠EHF}\\{AC=EF}\end{array}\right.$
∴△ACK≌△EFH（AAS），
∴FH=CK=1，HE=AK=2$\sqrt{3}$，
∵抛物线对称轴为x=-1，
∴F点的横坐标为0或-2，
∵点F在直线AB上，
∴当F点横坐标为0时，则F（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），此时点E在直线AB下方，
∴E到y轴的距离为EH-OF=2$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，即E点纵坐标为-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴E（-1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）；
当F点的横坐标为-2时，则F与A重合，不合题意，舍去；
②当AC为平行四边形的对角线时，
∵C（-3，0），且A（-2，2$\sqrt{3}$），
∴线段AC的中点坐标为（-2.5，$\sqrt{3}$），
设E（-1，t），F（x，y），
则x-1=2×（-2.5），y+t=2$\sqrt{3}$，
∴x=-4，y=2$\sqrt{3}$-t，
代入直线AB解析式可得2$\sqrt{3}$-t=-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×（-4）+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得t=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴E（-1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$），F（-4，$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）；
综上可知存在满足条件的点F，此时E（-1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）、F（0，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）或E（-1，-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$）、F（-4，$\frac{10\sqrt{3}}{3}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、勾股定理、轴对称的性质、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中理解题目中梦想直线的定义是解题的关键，在（2）中确定出N点的位置，求得ON的长是解题的关键，在（3）中确定出E、F的位置是解题的关键，注意分两种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．