Question

如图，在第二象限内作射线OC，与x轴的夹角为60°，在射线OC上取一点A，过点A作AH⊥x轴于点H，在抛物线y=x²（x＜0）上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P、O、Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是______．

Answer 1

①当∠POQ=∠OAH=30°，若以P，O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，那么A、P重合；
由于∠AOH=60°，
所以直线y=-

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y=- 3 x y=x2

解得

x=0 y=0

或

x=- 3 y=3

故A（-

3

，3）；
②当∠POQ=∠AOH=60°，此时△POQ≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=-

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y=- 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或；

x=- 3 3 y= 1 3

故P（-

3

3

，

1

3

），那么A（-

1

3

，

3

3

）；
③当∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=60°时，此时△QOP≌△AOH；
易知∠POH=30°，则直线y=-

3

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y=- 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或

x=- 3 3 y= 1 3

；
故P（-

3

3

，

1

3

），
∴OP=

2

3

，QP=

2 3

3

，
∴OH=OP=

2

3

，AH=QP=

2 3

3

，
故A（-

2

3

，

2 3

3

）；
④当∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=30°，此时△OQP≌△AOH；
此时直线y=-

3

x，联立抛物线的解析式，
得：

y=- 3 x y=x2

解得

x=0 y=0

或

x=- 3 y=3

．
∴P（-

3

，3）；
∴QP=2，OP=2

3

，
∴OH=QP=2，AH=OP=2

3

，
故A（-2，2

3

）．
综上可知：符合条件的点A有四个，则符合条件的点A的坐标是（-

3

，3）；或（-

1

3

，

3

3

）或（-

2

3

，

2 3

3

）或（-2，2

3

）．
故答案为：（-

3

，3）；或（-

1

3

，

3

3

）或（-

2

3

，

2 3

3

）或（-2，2

<