Question

【题目】如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，点E到点C，点F到点A时停止运动．

(1)求证：当点E，F在运动过程中不与点O重合时，以点B，E，D，F为顶点的四边形为平行四边形；

(2)当点E，F的运动时间t为何值时，四边形BEDF为矩形？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形

【解析】

（1）如下图，连接DE，EB，BF，FD，由已知条件易得AE=CF，BO=DO，AO=CO，由此可得OE=OF，从而可得四边形BEDF是平行四边形；

（2）由（1）可知，四边形BEDF是平行四边形，故当EF=BD=12cm时，四边形BEDF是矩形，由此分以下两种情况进行解答即可求得对应的t的值，①点E在OA上，点F在OC上时，EF=BD=12cm；②点E在OC上，点F在OA上是，EF=BD=12cm.

(1)连接DE，EB，BF，FD.

∵两动点E，F同时以2 cm/s的速度分别从点A，C出发在线段AC上相对运动，

∴AE＝CF.

∵平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴OD＝OB，OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)，

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四边形BEDF为平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，

即以点B，E，D，F为顶点的四边形是平行四边形．

(2)由已知条件可得：AE＝CF＝2t，

∵由（1）可知四边形BEDF是平行四边形，

∴当EF=BD=12时，四边形BEDF是矩形.

①当点E在OA上，点F在OC上时，EF=AC-4t，

∵EF=BD=12，

∴20－4t＝12，解得：t＝2；

②当点E在OC上，点F在OA上时，EF=4t-AC=4t-20，

∵EF=BD=12，

∴4t－20＝12，解得：t＝8.

综上所述：当点E，F的运动时间t为2 s或8 s时，四边形BEDF为矩形．