分析 在ON上截取BE=AC,连接PE,根据角平分线的性质得出PA=PB,进而通过证得△PAC≌△PBE,证得
PC=PE,∠APC=∠BPE,进一步证得∠CPD=∠EPD,然后证得△CPD≌△EPD,即可证得结论.
解答 证明:在ON上截取BE=AC,连接PE,
∵PA⊥OM,PB⊥ON,OP是∠MON的平分线,
∴PA=PB,
在△PAC和△PBE中,
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠PAC=∠PBE=90°}\\{AC=BE}\end{array}\right.$
∴△PAC≌△PBE(SAS),
∴PC=PE,∠APC=∠BPE,
∵∠CPD=$\frac{1}{2}$∠APB,
∴∠APC+∠BPD=$\frac{1}{2}$∠APB,
∴∠BPE+∠BPD=$\frac{1}{2}$∠APB,
∴∠CPD=∠EPD,
在△CPD和△EPD中
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PE}\\{∠CPD=∠EPD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$
∴△CPD≌△EPD(SAS),
∴∠CDP=∠EDP,
∴PD是∠BDC的平分线.
点评 本题考查了角平分线的性质,三角形全等的判定和性质,作出辅助线构建全等三角形是解题的关键.
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A. | $\frac{1}{6}$ | B. | $\frac{11}{12}$ | C. | $\frac{31}{36}$ | D. | $\frac{2}{3}$ |
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