Question

13．如图，直线y=$\frac{4}{3}$x与反比例函数的图象交于点A（3，a），第一象限内的点B在这个反比例函数图象上，OB与x轴正半轴的夹角为α，且tanα=$\frac{1}{3}$．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点B的坐标；
（3）求S_△OAB．

Answer 1

分析 （1）由点A在直线上，将x=3代入带直线解析式中求出a值，再由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出k值，由此即可得出结论；
（2）设点B坐标为（x，$\frac{12}{x}$），利用正切的定义结合tanα=$\frac{1}{3}$，即可得出关于x的分式方程，解方程即可得出x的值，由此即可得出点B的坐标；
（3）设直线OB为y=kx，由点B的坐标利用待定系数法即可求出直线OB的解析式，过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，利用分割法结合三角形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）∵直线y=$\frac{4}{3}$x与反比例函数的图象交于点A（3，a），
∴a=$\frac{4}{3}$×3=4，
∴点A的坐标为（3，4），
∴k=3×4=12，
∴反比例函数解析式y=$\frac{12}{x}$．
（2）∵点B在这个反比例函数图象上，设点B坐标为（x，$\frac{12}{x}$），
∵tanα=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{\frac{12}{x}}{x}$=$\frac{1}{3}$，解得：x=±6，
∵点B在第一象限，
∴x=6，
∴点B的坐标为（6，2）．
（3）设直线OB为y=kx，（k≠0），将点B（6，2）代入得：2=6k，
解得：k=$\frac{1}{3}$，
∴OB直线解析式为：y=$\frac{1}{3}$x．
过A点做AC⊥x轴，交OB于点C，如图所示：

则点C坐标为（3，1），
∴AC=3．
S_{△OAB的面积}=S_{△OAC的面积}+S_{△ACB的面积}=$\frac{1}{2}$×|AC|×6=9．
∴△OAB的面积为9．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积公式，解题的关键是：（1）求出点A的坐标；（2）利用正切的定义找出关于x的一元二次方程；（3）求出点C的坐标．本题属于中档题，难度不大，但较繁琐，解决该题型题目时，利用一次函数解析式求出点的坐标，再由点的坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征求出反比例函数解析式是关键．