Question

（1）已知 x²-6x+9+|y+1|=0，求（x+2y）²（x-2y）²-（x-2y）（x²+4y²）（x+2y）的值．
（2）若△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足等式3（a²+b²+c²）=（a+b+c）²，试确定该三角形的形状．

Answer 1

分析：（1）将已知等式左边前三项结合，利用完全平方公式变形，根据两非负数之和为0，得到两非负数分别为0，求出x与y的值，将所求式子第一项利用积的乘方逆运算法则变形，利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开，第二项第一、三个因式结合，利用平方差公式化简，再利用平方差公式化简，去括号合并得到最简结果，将x与y的值代入计算，即可求出值；
（2）将已知等式左边去括号化简，右边利用完全平方公式展开，整理后再利用完全平方公式变形，根据非负数之和为0，得到非负数分别为0，得到a=b=c，即可得到三角形为等边三角形．

解答：解：（1）∵x²-6x+9+|y+1|=（x-3）²+|y+1|=0，
∴x-3=0且y+1=0，即x=3，y=-1，
则（x+2y）²（x-2y）²-（x-2y）（x²+4y²）（x+2y）=（x²-4y²）²-（x²-4y²）（x²+4y²）=x⁴-8x²y²+16y⁴-x⁴+16y⁴=8x²y²+32y⁴=-8×9×1+32=-40；

（2）3（a²+b²+c²）=（a+b+c）²变形得：3a²+3b²+3c²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc，
3a²+3b²+3c²-a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc=0，
整理得：（a-b）²+（a-c）²+（b-c）²=0，
∴a=b=c，
则△ABC为等边三角形．

点评：此题考查了整式的化简求值，非负数的性质，以及配方法的应用，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，多项式除以单项式法则，单项式乘以多项式法则，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．