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    据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
    （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算
    1
    2
    （9-1）、
    1
    2
    （9+1）与
    1
    2
    （25-1）、
    1
    2
    （25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
    （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
    （3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．
    分析：（1）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
    （2）股是勾的平方减去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
    解答：解：（1）∵
    1
    2
    （9-1）=4，
    1
    2
    （9+1）=5；
    1
    2
    （25-1）=12，
    1
    2
    （25+1）=13；
    ∴7，24，25的股的算式为
    1
    2
    （49-1）=
    1
    2
    （72-1）
    弦的算式为
    1
    2
    （49+1）=
    1
    2
    （72+1）；（4分）

    （2）当n为奇数且n≥3，勾、股、弦的代数式分别为：n，
    1
    2
    （n2-1），
    1
    2
    （n2+1）．（7分）
    例如关系式①：弦-股=1；关系式②：勾2+股2=弦2（9分）
    证明关系式①：弦-股=
    1
    2
    （n2+1）-
    1
    2
    （n2-1）=
    1
    2
    [（n2+1）-（n2-1）]=1
    或证明关系式②：勾2+股2=n2+[
    1
    2
    （n2-1）]2=
    1
    4
    n4+
    1
    2
    n2+
    1
    4
    =
    1
    4
    （n2+1）2=弦2∴猜想得证；（12分）

    （3）例如探索得，当m为偶数且m＞4时，股、弦的代数式分别为：(
    m
    2
    )2-1    ，(
    m
    2
    )2+1    ．（14分）
    另加分问题，
    例如：连接两组勾股数中，上一组的勾、股与下一组的勾的和等于下一组的股．
    即上一组为：n，
    1
    2
    （n2-1），
    1
    2
    （n2+1）（n为奇数且n≥3），
    分别记为：A1、B1、C1，
    下一组为：n+2，
    1
    2
    [（n+2）2-1]，
    1
    2
    [（n+2）2+1]（n为奇数且n≥3），
    分别记为：A2、B2、C2，
    则：A1+B1+A2=n+
    1
    2
    （n2-1）+（n+2）=
    1
    2
    （n2+4n+3）=
    1
    2
    [（n+2）2-1]=B2．
    或B1+C2=B2+C1（证略）等等．
    点评：注意由具体例子观察发现规律，证明的时候熟练运用完全平方公式．
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    （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
    当勾=3时，股4=
    1
    2
    （9-1），弦5=
    1
    2
    （9+1）；
    当勾=5时，股12=
    1
    2
    （25-1），弦13=
    1
    2
    （25+1）；
    ------
    请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾
     
    、股
     
    、弦
     
    ，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
    （2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是三，股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三、股四、弦五”．
    （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，小明发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，
    当勾=3时，股4=数学公式（9-1），弦5=数学公式（9+1）；
    当勾=5时，股12=数学公式（25-1），弦13=数学公式（25+1）；
    ------
    请你根据小明发现的规律用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾______、股______、弦______，并猜想他们之间的相等关系（写二种）并对其中一种猜想加以证明；
    （2）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．请你直接用m（m为偶数且m≥4）的代数式来表示他们的股和弦．

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    科目：初中数学 来源：2010年江苏省泰州市泰兴市五校联考中考数学模拟试卷（解析版） 题型：解答题

    （2004•三明）据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．
    （1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9-1）、（9+1）与（25-1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；
    （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
    （3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

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    科目：初中数学 来源：2009年江苏省常州市3月数学中考模拟卷（解析版） 题型：解答题

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    （2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；
    （3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．

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