Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EF⊥AC分别交DC于F，交AB于E，若点G是AE中点且∠AOG＝30°，则下列结论正确的个数为（　　）

（1）△OGE是等边三角形；（2）DC＝3OG；（3）OG＝BC；（4）S△AOE＝S矩形ABCD

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】C

【解析】

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OG=AG=GE=AE，再根据等边对等角可得∠OAG=30°，根据直角三角形两锐角互余求出∠GOE=60°，从而判断出△OGE是等边三角形，判断出（1）正确；设AE=2a，根据等边三角形的性质表示出OE，利用勾股定理列式求出AO，从而得到AC，再求出BC，然后利用勾股定理列式求出AB=3a，从而判断出（2）正确，（3）错误；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出（4）正确．

解：∵EF⊥AC，点G是AE中点，

∴OG＝AG＝GE＝AE，

∵∠AOG＝30°，

∴∠OAG＝∠AOG＝30°，

∠GOE＝90°﹣∠AOG＝90°﹣30°＝60°，

∴△OGE是等边三角形，故（1）正确；

设AE＝2a，则OE＝OG＝a，

由勾股定理得，AO＝＝＝a，

∵O为AC中点，

∴AC＝2AO＝2a，

∴BC＝AC＝×2a＝a，

在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝3a，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CD＝AB＝3a，

∴DC＝3OG，故（2）正确；

∵OG＝a，BC＝a，

∴OG≠BC，故（3）错误；

∵S△AOE＝aa＝a2，

SABCD＝3aa＝3a2，

∴S△AOE＝SABCD，故（4）正确；

综上所述，结论正确是（1）（2）（4），共3个．

故选：C．