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    8．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（1，3）设经过A，O两点且顶点C在直线AB上的抛物线为m．
    （1）求直线AB和抛物线m的函数解析式．
    （2）若将抛物线m沿射线AB方向平移（顶点C始终在AB上），设移动后的抛物线与x轴的右交点为D．
    ①在上述移动过程中，当顶点C在水平方向上移动3个单位长度时，A与D之间的距离是多少？
    ②当顶点在水平方向移动a（a＞0）个单位长度时，请用含a的代数式表示AD的长．

    分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据抛物线过点A、O即可得出抛物线的对称轴，由顶点在直线AB上即可找出顶点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+1，根据点O的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
    （2）①根据点C的坐标以及平移的性质可找出平移后的顶点坐标（2，4），由此即可得出平移后的抛物线的解析式，令y=0，求出x值，点D横坐标取x中的较大值，再结合点A的坐标即可得出线段AD的长度；
    ②根据点C的坐标以及平移的性质可找出平移后的顶点坐标（a-1，a+1），由此即可得出平移后的抛物线的解析式，令y=0，求出x值，点D横坐标取x中的较大值，再结合点A的坐标即可得出线段AD的长度．

    解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
    则$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{3=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
    ∴直线AB的解析式为y=x+2．
    ∵抛物线m经过A、O两点，
    ∴抛物线的对称轴为x=-1，
    ∵抛物线顶点在直线AB上，
    ∴y=-1+2=1，
    ∴抛物线的顶点C（-1，1）．
    设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+1，
    将（0，0）代入y=a（x+1）2+1中，有0=a（0+1）2+1，
    解得：a=-1，
    ∴抛物线的解析式为y=-（x+1）2+1=-x2-2x．
    （2）①根据题意，顶点在水平方向上向右平移了3个单位长度，顶点的横坐标为-1+3=2，纵坐标为x+2=2+2=4，
    ∴平移后的抛物线为y=-（x-2）2+4，
    当y=0时，有-（x-2）2+4=0，
    解得：x1=0，x2=4，
    ∴D（4，0），
    ∴AD=4-（-2）=6．
    ②当顶点在水平方向上向右平移了a个单位长度时，顶点为（a-1，a+1），
    ∴平移后的抛物线为y=-（x-a+1）2+a+1，
    当y=0时，（x-a+1）2=a+1，
    解得：x=a-1±$\sqrt{a+1}$，
    ∴D（a-1+$\sqrt{a+1}$，0），
    ∴AD=a-1+$\sqrt{a+1}$-（-2）=a+1+$\sqrt{a+1}$．

    点评 本题考查了待定系数法函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线与抛物线的函数解析式；（2）根据平移的性质找出平移后抛物线顶点坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目是，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．

    练习册系列答案
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    18．探究与发现：
    探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
    已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系，并说明理由
    探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
    已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系，并说明理由
    探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
    已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P与∠A+∠B的数量关系，并说明理由
    探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
    请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=$\frac{1}{2}$（∠A+∠B+∠E+∠F）-180°．

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    19．已知关于x的方程5x-2m=3x-6m+1的解满足-3＜x≤2，求m的取值范围．

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    16．在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两点

    （1）如图①，AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E，连接BM、DN，求证：△MFB≌△NED．
    （2）在解决第（1）问的过程中，你用到了“正方形ABCD”的哪些性质？如果改变“正方形”这个条件，第（1）问还可以解决吗？说说你的想法．
    （3）如图②，AM≠CN，连接BM并延长交AD于点G，连接DH并延长交BC于点N，连接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，求∠GMD+∠HNB的大小．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    3．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
    （1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
    （2）请画出△ABC绕O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；并写出点A2、B2、C2的坐标；
    （3）求△ABC绕O顺时针旋转90°AB边扫过的面积．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．解答下列问题：
    （1）①当α=60度时，四边形EDBC是直角梯形；
    ②当α=30度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
    （2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    20．如图1，我们现给出如下结论：“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”图形语言说明：在Rt△ABC中，∠C=90°．由CP是中线．可得CP=$\frac{1}{2}$AB，请结合上述结论解决如下问题：
    已知，点P是△ABC边AB上一动点（不与A，B重合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为边AB的中点．
    （1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE∥BF，QE与QF的数量关系是QE=QF
    （2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
    （3）如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并写出主要证明思路．

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    科目：初中数学 来源： 题型：填空题

    17．2015年10月12日，淮北市首届中学生气象科普作品创作竞赛活动获得圆满成功，活动共征集到全市6所中学报送的中学生气象科普作用，负责人把学生们上交的作品按中学分六组进行统计，并绘制成频数分布直方图．已知从左到右各小长方形的高之比为2：3：4：5：1：1，第4组的频数为20，则六所学校上交的作品共有64件．

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    18．如图，已知抛物线y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与抛物线的另一交点为D．
    （1）若点D的横坐标为-5，求抛物线的解析式；
    （2）过D点向x轴作垂线，垂足为点M，连接AD，若∠MDA=∠ABD，求D点的坐标；
    （3）若在第一象限内的抛物线上有点P，使得以A、B、P为顶点的三角形与△ABC相似．

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