Question

3．如图，反比例函数的图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），?ABCD 的顶点C、D分别在y轴的负半轴、x轴的正半轴上，二次函数的图象经过点A、C、D．
（1）点D的坐标为（3，0）；
（2）若点E在对称轴右侧的二次函数图象上，且∠DCE＞∠BDA，则点E的横坐标m的取值范围为1≤m＜$\frac{9}{4}$，m＞6．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出点B坐标，直线AB解析式，根据CD∥AB，得到CD的解析式为y=x+m，推出OD=OC，再根据AB=CD=3$\sqrt{2}$，利用勾股定理即可解决问题．
（2）首先证明四边形ABCD是矩形，分两种情形讨论①当点E在直线CD下方时，∠ECD=∠ADB，推出EC⊥AC，求出直线EC的解析式，抛物线的解析式，解方程组即可解决问题．②当点E在直线CD上方时，∠E′CD=∠ADB，推出CE′⊥BD，求出直线CE′的解析式即可利用方程组解决问题．

解答 解：（1）如图，设反比例函数解析式为y=$\frac{k}{x}$，
∵反比例函数的图象经过点A（-2，5）和点B（-5，p），
∴k=-10．p=2，
∴点B坐标（-5，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，则有$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=5}\\{-5k+b=2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=7}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+7，
∴AB∥CD，
∴直线CD的解析式为y=x+m，
则OD=OM=-m，
∵AB=CD=3$\sqrt{2}$，
∴OD=OC=3，
∴点D坐标（3，0），
故答案为（3，0）．

（2）∵A（-2，5），C（0，-3），B（-5，2），D（3，0），
∴AC=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{8}^{2}}$=2$\sqrt{17}$，
∴AC=BD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形，设AC与BD交于点K，
∴KC=KD，
∴∠KDC=∠KCD，
当点E在直线CD下方时，∠ECD=∠ADB，
∵∠ADB+∠KDC=90°，
∴∠ECD+∠KCD=90°，
∴EC⊥AC，
∵直线AC的解析式为y=-4x-3，
∴直线CE的解析式为y=$\frac{1}{4}$x-3，
设经过点A、C、D的抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{4a-2b+c=5}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{4}x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{4}}\\{y=-\frac{39}{16}}\end{array}\right.$，
∴点E坐标（$\frac{9}{4}$，-$\frac{39}{16}$）．
当点E在直线CD上方时，∠E′CD=∠ADB，
∵∠ADB+∠BDC=90°，
∴∠E′CD+∠BDC=90°，
∴CE′⊥BD，
∵直线BD的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4}$，
∴直线CE′的解析式为y=4x-3，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=4x-3}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=21}\end{array}\right.$，
∴点E′坐标为（6，21），
综上所述，当点E在对称轴右侧的二次函数图象上，且∠DCE＞∠BDA，则点E的横坐标m的取值范围为1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．
故答案为1≤m＜$\frac{9}{4}$或m＞6．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、平行四边形的性质、矩形的判定和性质，两条直线互相垂直等知识，解题的关键是学会利用方程组确定两个好像图象的交点坐标，属于中考压轴题．