Question

19．如图1，AB为半圆的直径，O为圆心，C为圆弧上一点，AD垂直于过C点的切线，垂足为D，AB的延长线交直线CD于点E．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）如图2，连接OD交AC于点G，若$\frac{CG}{GA}$=$\frac{3}{4}$，求sin∠E的值．

Answer 1

分析 （1）连结OC，如图1，先利用切线的性质得到OC⊥CD，再判断OC∥AD得到∠1=∠3，加上∠2=∠3，则有∠1=∠2，于是可判断AC平分∠DAB；
（2）连结OC，如图2，先证明△OCG∽△DAG得到$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，则设OC=3x，则AD=4x，再证明△EOC∽△EAD，利用相似比可表示出EO=9x，然后在Rt△OCE中利用正弦的定义求sin∠E的值．

解答 （1）证明：连结OC，如图1，
∵CD为切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴OC∥AD，
∴∠1=∠3，
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连结OC，如图2，
∵OC∥AD，
∴△OCG∽△DAG，
∴$\frac{OC}{AD}$=$\frac{CG}{AG}$=$\frac{3}{4}$，
设OC=3x，则AD=4x，
∵OC∥AD，
∴△EOC∽△EAD，
∴EO：EA=OC：AD，即EO：（EO+3x）=3x：4x，
∴EO=9x，
在Rt△OCE中，sin∠E=$\frac{OC}{OE}$=$\frac{3x}{9x}$=$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和矩形的性质．解决本题的关键是构建相似三角形，利用相似比表示线段之间的关系．